每日一题[1057]二元最值

已知 $x,y>0$，求 $m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5$ 的最小值．

正确答案是$2$．

分析与解    法一

设 $x+y=2a$，$x-y=2b$，其中 $a>b$，则 $$x=a+b,y=a-b,$$ 代入整理可得 $$m=\left(24a-4\right)b^2+24a^3-12a^2-6a+5.$$ 情形一    若 $a\geqslant \dfrac 16$，则 $$m\geqslant 24a^3-12a^2-6a+5,$$ 记右边为 $f(a)$，则 $$f'(a)=6\left(12a^2-4a-1\right),$$ 于是当 $a=\dfrac 12$ 时，$f(a)$ 取得极小值，亦为最小值 $f\left(\dfrac 12\right)=2$．
情形二    若 $a<\dfrac 16$，则 $$\begin{split}m&>\left(24a-4\right)a^2+24a^3-12a^2-6a+5\\&=48a^3-16a^2-6a+5\\&>-16\cdot \left(\dfrac 16\right)^2-6\cdot\dfrac 16+5\\&>2.\end{split}$$
综上所述，$m$ 的最小值为 $2$，当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得．

法二
注意到 $$m(x-y)=\left(6x^4-4x^3-3x^2+5x\right)-\left(6y^4-4y^3-3y^2+5y\right),$$ 设 $\varphi(x)=6x^4-4x^3-3x^2+5x$，则当 $x\ne y$ 时，不妨设 $x<y$，根据拉格朗日中值定理有 $$m=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}=\varphi'(\xi),$$ 其中 $\xi \in (x,y)$．而 $$\varphi'(\xi)=24\xi^3-12\xi^2-6\xi+5,$$ 进而 $$\varphi''(\xi)=6\left(12\xi^2-4\xi-1\right),$$ 于是 $$\varphi'(\xi)\geqslant \varphi'\left(\dfrac 12\right)=2,$$ 于是 $m\geqslant 2$．
又当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时，$m=2$，因此所求 $m$ 的最小值为 $2$．