已知 \(x,y>0\)，求 \(m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5\) 的最小值．
正确答案是\(2\)．
分析与解 法一
设 \(x+y=2a\)，\(x-y=2b\)，其中 \(a>b\)，则\[x=a+b,y=a-b,\]代入整理可得\[m=\left(24a-4\right)b^2+24a^3-12a^2-6a+5.\]情形一 若 \(a\geqslant \dfrac 16\)，则\[m\geqslant 24a^3-12a^2-6a+5,\]记右边为 \(f(a)\)，则\[f'(a)=6\left(12a^2-4a-1\right),\]于是当 \(a=\dfrac 12\) 时，\(f(a)\) 取得极小值，亦为最小值 \(f\left(\dfrac 12\right)=2\)．
情形二 若 \(a<\dfrac 16\)，则\[\begin{split}m&>\left(24a-4\right)a^2+24a^3-12a^2-6a+5\\&=48a^3-16a^2-6a+5\\&>-16\cdot \left(\dfrac 16\right)^2-6\cdot\dfrac 16+5\\&>2.\end{split}\]
综上所述，\(m\) 的最小值为 \(2\)，当 \((x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\) 时取得．
法二
注意到\[m(x-y)=\left(6x^4-4x^3-3x^2+5x\right)-\left(6y^4-4y^3-3y^2+5y\right),\]设 \(\varphi(x)=6x^4-4x^3-3x^2+5x\)，则当 \(x\ne y\) 时，不妨设 \(x<y\)，根据拉格朗日中值定理有\[m=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}=\varphi'(\xi),\]其中 \(\xi \in (x,y)\)．而\[\varphi'(\xi)=24\xi^3-12\xi^2-6\xi+5,\]进而\[\varphi''(\xi)=6\left(12\xi^2-4\xi-1\right),\]于是\[\varphi'(\xi)\geqslant \varphi'\left(\dfrac 12\right)=2,\]于是 \(m\geqslant 2\)．
又当 \((x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\) 时，\(m=2\)，因此所求 \(m\) 的最小值为 \(2\)．
我再问个题外问题，假如求割线斜率取值范围，能不能用导数取值范围代替（包括验证断点是否成立）？
请问法二中直接用导数代替割线斜率范围是否等价？比如y=x^3，图像上任意不同两点连线斜率k的取值范围是(0，+∞)，而导数的取值范围却是[0,+∞),这种方法得到的范围不会扩大吗？
不明白你想表达什么，问题是求最值，且已验证；表达中也没有指明等价．
谢谢，也就是说这种解法需要验证等号能否成立。