已知 \(\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)\)，则 \(\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 的最大值是_______．
正确答案是\(\dfrac{11}6\)．
分析与解 根据题意，有\[\begin{split}\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\left(1-\cos\beta\right)\cdot \cos\alpha+\sin\beta\cdot\sin\alpha+\dfrac 32\cos\beta\\&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=\sqrt{2-2\cos\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=2\sin\dfrac{\beta}2+\dfrac 32-3\sin^2\dfrac{\beta}2\\&\leqslant \dfrac{-12\cdot \dfrac 32-2^2}{-12}=\dfrac{11}6,\end{split}\]等号当 \(\sin\dfrac{\beta}2=\dfrac 13\)，且\[\alpha=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\beta}2=\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 13\]时可以取到．
因此所求的最大值为 \(\dfrac{11}6\)．
备注 本题也可以先通过柯西不等式消去角$\beta$，得到一个与$\alpha$相关的表达式，再去求最值，有兴趣的读者可以尝试．