每日一题[1046]各个击破

已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)$ 的最大值是_______．

正确答案是$\dfrac{11}6$．

分析与解　根据题意，有 $$\begin{split}\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\left(1-\cos\beta\right)\cdot \cos\alpha+\sin\beta\cdot\sin\alpha+\dfrac 32\cos\beta\\&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=\sqrt{2-2\cos\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\&=2\sin\dfrac{\beta}2+\dfrac 32-3\sin^2\dfrac{\beta}2\\&\leqslant \dfrac{-12\cdot \dfrac 32-2^2}{-12}=\dfrac{11}6,\end{split}$$ 等号当 $\sin\dfrac{\beta}2=\dfrac 13$，且 $$\alpha=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\beta}2=\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 13$$ 时可以取到．

因此所求的最大值为 $\dfrac{11}6$．

备注　本题也可以先通过柯西不等式消去角$\beta$，得到一个与$\alpha$相关的表达式，再去求最值，有兴趣的读者可以尝试．