每日一题[878]函数的最值

已知函数$f(x) = \dfrac{{a + 3bx + \sin x + bx\cos x}}{{3 + \cos x}}$（$a , b \in {\mathbb{R}}$），若$f(x)$在${\mathbb {R}}$上既有最大值，又有最小值，且最大值与最小值的和为$6$，则$a + b =$______．

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正确答案是$8$．

分析与解　$f\left( x \right)$在${\mathbb{R}}$上有最值，于是$b = 0$．从而

$$f\left( x \right) = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}},$$ 记$y = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$，则 $$\sin x - y\cos x = 3y - a,$$ 所以 $$\dfrac{{{{\left( {3y - a} \right)}^2}}}{{1 + {y^2}}} \leqslant 1,$$ 即 $$8{y^2} - 6ay + {a^2} - 1 \leqslant 0,$$ 根据题意${y_1} + {y_2} = 6$，所以$\dfrac{{6a}}{8} = 6$，所以$a = 8$．