每日一题[726]“约不约”随机

设$A,B,C,D$是空间四个不共面的点，以$\dfrac 12$的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则$A,B$可用空间折线(一条或若干条边组成的)连接的概率为_______．

分析与解　$\dfrac 34$．

考虑反面，即$A,B$不能用空间折线连接的概率：法一　以$B,C$与$B,D$是否连边分情况讨论．

①若$B,C$与$B,D$都不连边，则一定满足情况，所求概率为 $$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\dfrac 12=\dfrac 18;$$

②若$B,C$与$B,D$都连边，那么$A,C$与$A,D$都不连边，所求概率为 $$\left(\dfrac 12\right)^5=\dfrac 1{32};$$

③若$B,C$与$B,D$恰有一组连边，不妨考虑$B,C$连边，$B,D$不连边，则$A,C$不连边，且$C,D$与$A,D$不同时连边即可，所求概率为 $$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\dfrac 12\times \dfrac 12\times\left(1-\dfrac 14\right)=\dfrac {3}{64}.$$

所以$A,B$不能用空间折线连接的概率为 $$\dfrac 18+\dfrac 1{32}+2\times\dfrac {3}{64}=\dfrac 14.$$ 从而所求概率为$1-\dfrac 14=\dfrac 34$．

法二　按$C,D$是否连边分两种情况讨论：
①若$C,D$不连边，则满足条件的有三种情况：$A,D$，$B,D$，$A,C$与$B,C$都不连边；仅有一组连边；或有两组连边，但$A,D$与$B,D$不同时连边，$A,C$与$B,C$不同时连边均可．

故所求概率为 $$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\left[\left(\dfrac 12\right)^4+{\rm C}_4^1\times\left(\dfrac 12\right)^4+{\rm C}_2^1\times{\rm C}_2^1\times\left(\dfrac 12\right)^4\right]=\dfrac 9{64}.$$

②若$C,D$连边，也有三种情况：$A,D$，$B,D$，$A,C$，$B,C$全不连边；或只有一组连边，或有两组连边，但两组连边为$AD,AC$或$BC,BD$．

所求概率为 $$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\left[\dfrac {1}{16}+{\rm C}_4^3\times\left(\dfrac 12\right)^4+2\times\left(\dfrac 12\right)^4\right]=\dfrac {7}{64}.$$ 从而$A,B$不能用折线连接的概率为 $$\dfrac 9{64}+\dfrac 7{64}=\dfrac 14,$$ 所求概率为$1-\dfrac 14=\dfrac 34$．