每日一题[35] 二阶不动点

今天的题目是2013年四川高考理科数学卷选择题的最后一题改成的填空题．

设函数$f(x)=\sqrt{{\mathrm e}^x+x-a}$（$a\in\mathcal R$）．若曲线$y=\sin x$上存在点$(x_0,y_0)$使得$f(f(y_0))=y_0$，则$a$的取值范围是_________．

 这里需要一些预备知识．

对于函数$y=f(x)$，方程$f(x)=x$的根称为函数$f(x)$的（一阶）不动点；方程$f(f(x))=x$的根称为函数$f(x)$的二阶不动点．当然，我们也可以以此类推定义$n$阶不动点．有以下引理：

方程$f\left(f(x)\right)=x$的解为曲线$y=f(x)$与曲线$x=f(y)$（这两条曲线关于直线$y=x$对称）的交点的横坐标．

回到本题，根据引理，不难求得，$a$的取值范围是$[1,{\mathrm e}]$．如图．

点评    这是处理$f(f(x))=x$的常用方法．下面给出两道自主招生题作为练习．

1、（2008年上海交大）已知函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)$，且$f(x)=x$没有实数根．问：$f(f(x))=x$是否有实数根？请证明你的结论．

2、（2009年上海交大）证明：若$f(f(x))$有唯一不动点，则$f(x)$也有唯一不动点．

2015年3月22日补充

易错题    已知函数$f(x)={\rm e}^x+x^2-a$，方程$f\left(f(x)\right)=x$在区间$[0,1]$上有且只有一个解，求$a$的取值范围．

 练习题    已知函数$f(x)=\left|x^2-ax\right|-2$，且函数$y=f(x+2)$是偶函数．

（1）求实数$a$的值；

（2）设函数$y=g(x)$，集合$M=\left\{x\left|g(x)-x=0\right.\right\}$，$N=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\right.\right\}$．

① 证明：$M\subseteq N$；

② 如果$g(x)=f\left(\left|x\right|\right)$，集合$P=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\land \left|\right.x\left.\right|\leqslant 2\right.\right\}$，那么集合$P$中的元素个数为_______．

参考答案    （1）$a=4$；（2）①略；②$5$．