每日一题[35] 二阶不动点

今天的题目是2013年四川高考理科数学卷选择题的最后一题改成的填空题．

设函数\(f(x)=\sqrt{{\mathrm e}^x+x-a}\)（\(a\in\mathcal R\)）．若曲线\(y=\sin x\)上存在点\((x_0,y_0)\)使得\(f(f(y_0))=y_0\)，则\(a\)的取值范围是_________．

 这里需要一些预备知识．

对于函数\(y=f(x)\)，方程\(f(x)=x\)的根称为函数\(f(x)\)的（一阶）不动点；方程\(f(f(x))=x\)的根称为函数\(f(x)\)的二阶不动点．当然，我们也可以以此类推定义\(n\)阶不动点．有以下引理：

方程\(f\left(f(x)\right)=x\)的解为曲线\(y=f(x)\)与曲线\(x=f(y)\)（这两条曲线关于直线\(y=x\)对称）的交点的横坐标．

回到本题，根据引理，不难求得，\(a\)的取值范围是\([1,{\mathrm e}]\)．如图．

点评    这是处理\(f(f(x))=x\)的常用方法．下面给出两道自主招生题作为练习．

1、（2008年上海交大）已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，且\(f(x)=x\)没有实数根．问：\(f(f(x))=x\)是否有实数根？请证明你的结论．

2、（2009年上海交大）证明：若\(f(f(x))\)有唯一不动点，则\(f(x)\)也有唯一不动点．

2015年3月22日补充

易错题    已知函数\(f(x)={\rm e}^x+x^2-a\)，方程\(f\left(f(x)\right)=x\)在区间\([0,1]\)上有且只有一个解，求\(a\)的取值范围．

 练习题    已知函数\(f(x)=\left|x^2-ax\right|-2\)，且函数\(y=f(x+2)\)是偶函数．

（1）求实数\(a\)的值；

（2）设函数\(y=g(x)\)，集合\(M=\left\{x\left|g(x)-x=0\right.\right\}\)，\(N=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\right.\right\}\)．

① 证明：\(M\subseteq N\)；

② 如果\(g(x)=f\left(\left|x\right|\right)\)，集合\(P=\left\{x\left|g\left(g(x)\right)-x=0\land \left|\right.x\left.\right|\leqslant 2\right.\right\}\)，那么集合\(P\)中的元素个数为_______．

参考答案    （1）\(a=4\)；（2）①略；②\(5\)．