对于函数$f(x)$,方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点.
(1)证明:若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点,则$f\left( x \right)$也有唯一不动点.
(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$($a \ne 0$),且$f\left( x \right) $没有不动点.那么$f\left( {f\left( x \right)} \right) $是否有不动点?证明你的结论.
分析与解 (1)$f(x)$的不动点一定是$f(f(x))$的不动点,所以只需要证明$f(x)$的不动点存在即可:
设$a$为$f(f(x))$的不动点,即$f(f(a))=a$,令$b=f(a)$,则有$f(b)=a$,从而$f(f(b))=f(a)=b$,所以$b$也是$f(f(x))$的不动点,而$f(f(x))$的不动点唯一,所以$a=b$,即$f(a)=a$,所以$a$也是$f(x)$的不动点,即$f(x)$存在不动点.
(2)没有不动点,证明如下:
因为$f(x)-x=0$无实数,而$y=f(x)-x$为二次函数,所以$f(x)>x$或$f(x)<x$恒成立.
若$f(x)>x$,则$f(f(x))>f(x)>x$;
若$f(x)<x$,则$f(f(x))<f(x)<x$;
所以$f(f(x))=x$也没有实根,即$f(f(x))$没有不动点.
更多相关问题见每日一题[35]二阶不动点.