每日一题[210] 代数不等式的证明

2015年全国高中数学联赛安徽省预赛第9题：

已知正实数$a,b$满足$a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3$．

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法一    均值不等式

注意到取等号的条件为$a=b=\dfrac 12$，于是

$$\sqrt{a^2+\dfrac 1a}=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{8a}+\cdots+\dfrac{1}{8a}}\geqslant 3\sqrt [18]{\dfrac{1}{8^8a^6}},$$ 类似的，有 $$\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3\sqrt [18]{\dfrac{1}{8^8b^6}},$$ 于是 $$\begin{split}\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}&\geqslant 3\sqrt [18]{\dfrac{1}{8^8a^6}}+3\sqrt [18]{\dfrac{1}{8^8b^6}}\\&\geqslant 6\sqrt [6]{\dfrac{1}{2^{8}ab}}\\&\geqslant 6\sqrt[6]{\dfrac{4}{2^{8}(a+b)^2}}\\&=3,\end{split}$$ 因此原不等式得证．

法二    切线法

如图，利用切线构造函数不等式

$$\sqrt{x^2+\dfrac 1x}\geqslant 2-x,$$ 应用于$a$、$b$后两式相加即得．

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注    有关切线法的更多题目还可以参考 一个根式函数值域的问题，以及WMTC中的一道试题．

练习    已知$f(x)=\dfrac{3+x}{1+x^2}$，$x\in [0,3]$，已知数列$\{a_n\}$满足$0<a_n\leqslant 3$，$n\in \mathcal N^*$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2010}=670$，则$f\left(a_1\right)+f\left(a_2\right)+\cdots+f\left(a_{2010}\right)$的最大值为______．（$6030$）

提示    构造$x\in [0,3]$上的函数不等式

$$\dfrac{3+x}{1+x^2}\leqslant -\dfrac{9}{10}\cdot \left(x-\dfrac 13\right)+3.$$