每日一题[211] 寻找周期性

2014年全国高中数学联赛河南省预赛第7题:

符号\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数,\(n\)是正整数,则\(\sum\limits_{n=1}^{2014}\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right)\)的值是_______.



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正确答案是\(2027091\).

注意到\[\dfrac n2+\dfrac n3+\dfrac n6=n,\]也就是说如果没有取整函数的作用,那么所求的和即\(\sum\limits_{n=1}^{2014}n\).但由于取整函数有“收尾”的功效,于是每个\(n\)都有可能被三个取整函数“削减”.那么不同的\(n\)被“削减”的幅度到底有多大呢?

此类问题一般先从探索周期性入手.设削减幅度函数\[\Delta (n)=n-\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right),\]则有\[\Delta (n+6)=\Delta (n),\]于是削减幅度函数具有周期性,在一个周期内的削减量分别为\[\Delta (n)=\begin{cases}1,&n=1,2,3,4,\\2,&n=5,\\0,&n=6,\end{cases}\]因此总削减量为\[6\cdot \left[\dfrac {2014}6\right]+\Delta (1)+\Delta (2) +\Delta (3)+\Delta (4)=2014,\]所求和式的值为\[\sum_{n=1}^{2014}n-2014=2027091.\]


   关于取整函数有一个著名的恒等式(厄尔米特恒等式):

\[\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\dfrac kn\right]=\left[ nx\right],\]其中\(x\geqslant 0\),\(n\in \mathcal N^*\).该恒等式可以留做练习.

提示    函数\[f(x)=\left[ nx\right]-\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\dfrac kn\right]\]是周期为\(\dfrac 1n\)的函数,因此只需要证明\(x\in\left[0,\dfrac 1n\right)\)上的情形.

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