每日一题[2257]中垂面

在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点，点 $P$ 为 $E F$ 中点，$Q$ 为正四面体中心（满足 $QA=QB=QC=QD$），若 $PQ=\sqrt 2$，则 $EF$ 的长度为（       ）

A．$2 \sqrt{6}$

B．$\sqrt{6}$

C．$3$

D．$2$

答案    A．

解析    根据题意，设 $AC,AD,BD,BC$ 的中点分别为 $G,H,I,J$，则点 $P$ 的轨迹是正方形 $GHIJ$ 所在的平面，且 $Q$ 为正方形 $GHIJ$ 的中心．

注意到正方形 $GHIJ$ 的边长为 $2\sqrt 2$，而 $PQ=\sqrt 2$，于是 $P$ 点位于正方形 $GHIJ$ 四边的中点处，不妨设 $P$ 点位于 $GH$ 的中点处，则此时 $F$ 为 $CD$ 中点，$E=A$，$EF=2\sqrt 6$．