每日一题[2002]隐藏的定值

《每日一题[2002]隐藏的定值》有11条回应

1. marpluto说：

   2022年8月24日 上午1:29

   兰神看看新增的解法呀（哭）

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   • 意琦行说：

     2022年8月30日 上午11:22

     很好很强大！

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2. marpluto说：

   2022年8月5日 上午2:36

   在伸缩变换 $x=x'$，$y=\dfrac{y'}3$ 下，椭圆变为圆 $O':x'^2+y'^2=3$，设直线 $C'D'$、直线 $x'=6$ 与 $x'$ 轴的交点分别为 $M',N$，连接 $O'C',B'C',N'C'$，如图所示．
   【图不知道怎么发】
   因为

   $$\angle P'C'B'=\angle P'N'B'=90^\circ,$$ 于是 $P',C',B',N'$ 四点共圆，从而 $$\angle C'P'D'=\angle C'N'A',$$ 结合 $\angle C'D'P'=\angle C'A'B'$，可得 $$\angle D'C'P'=\angle A'C'N',$$ 于是 $$\angle A'C'D'=\angle N'C'P',$$ 又 $\angle O'C'A'=\angle O'A'C'$，所以 $$\angle A'C'D'-\angle O'C'A'=\angle N'C'P'-\angle O'A'C',$$ 即 $$\angle O'C'M'=\angle O'N'C',$$ 从而 $\triangle O'C'M'\sim\triangle O'N'C'$，进而 $$O'M'=\dfrac{O'C'^2}{O'N'}=\dfrac 32,$$ 因此 $OM=\dfrac 32$，于是直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$．

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   • ora说：

     2022年8月27日 上午12:16

     公式怎么发啊

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     • marpluto说：

       2022年8月27日 上午12:38

       LaTeX代码

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3. marpluto说：

   2022年8月5日 上午2:35

   再提供两种解法吧．

   设 $P(6,t)$，$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，$\vv{CP}=\lambda\vv{PA}$，$\vv{DP}=\mu\vv{PB}$，则

   $$\left(\dfrac{x_1-3\lambda}{1+\lambda},\dfrac{y_1}{1+\lambda}\right)=\left(\dfrac{x_2+3\mu}{1+\mu},\dfrac{y_2}{1+\mu}\right)=(6,t)$$ 从而 $$x_1=6+9\lambda,y_1=t(1+\lambda),x_2= 6+3\mu,y_2=t(1+\mu),$$ 由 $C,A$ 在椭圆 $E$ 上，利用定比点差法，有 $$\dfrac 19\cdot\dfrac{x_1-3\lambda}{1+\lambda}\cdot\dfrac{x_1+3\lambda}{1-\lambda}+\dfrac{y_1}{1+\lambda}\cdot\dfrac{y_1}{1-\lambda}=1,$$ 即 $$\dfrac 23\cdot\dfrac{x_1+3\lambda}{1-\lambda}+t\cdot\dfrac{y_1}{1-\lambda}=1,$$ 也即 $$t^2(1+\lambda)=-3-9\lambda,$$ 类似地，由 $D,B$ 在椭圆 $E$ 上，利用定比点差法，有 $$t^2(1+\mu)=-3-\mu,$$ 于是 $$\dfrac{1+\lambda}{1+\mu}=\dfrac{-3-9\lambda}{-3-\mu}\iff\lambda\mu=-\dfrac 34\lambda-\dfrac 14\mu,$$ 根据截距坐标公式，直线 $CD$ 的横截距 $$\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{(6+9\lambda)\cdot t(1+\mu)-(6+3\mu)\cdot t(1+\mu)}{t(1+\mu)-t(1+\lambda)}=3\cdot\dfrac{\lambda+\mu+2\lambda\mu}{\mu-\lambda}=\dfrac 32,$$ 因此直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$．

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4. maths说：

   2020年12月26日 下午5:28

   根据极点极线理论，可知CD一定过x=6关于E的极点，为（3/2，0）

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5. marpluto说：

   2020年7月20日 上午12:00

   交点曲线系：设直线 $CD$ 的方程为 $x=my+n$, 则过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线系为

   $$\left(y-\dfrac t9(x+3)\right)\left(y-\dfrac t3(x-3)\right)+\lambda y(x-my-n)=0,$$ 该方程可以表示椭圆 $\dfrac{x^2}9+y^2=1$, 于是 $$\begin{cases}-\dfrac t9-\dfrac t3+\lambda=0,\\\dfrac t3+t-\lambda n=0,\end{cases}\implies n=\dfrac32,$$ 于是直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

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   • 意琦行说：

     2020年7月20日 上午12:42

     很好很强大，666

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6. marpluto说：

   2020年7月20日 上午12:00

   参数弦方程：设 $P(6,t)$, 点 $C,D$ 对应的参数分别为 $2\alpha,2\beta$, 则直线 $AC$ 的方程为

   $$-\dfrac x3+t\cot\alpha=1,$$ 由于 $P$ 在 $AC$ 上,于是 $$\tan\alpha=\dfrac t3,$$ 同理,由 $P$ 在 $BD$ 上有 $$\tan\beta=-\dfrac1t,$$ 于是 $$\tan\alpha\cdot\tan\beta=-\dfrac13,$$ 由椭圆参数方程相关的结论知直线 $CD$ 恒过点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

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7. marpluto说：

   2020年7月19日 下午11:59

   硬算：设 $P(6,t)$, 于是直线 $PA$ 的方程为 $y=\dfrac t9(x+3)$, 与椭圆方程联立,得

   $$\left(9+t^2\right)x^2+6t^2x+9t^2-81=0,$$ 根据韦达定理,有 $$x_C\cdot(-a)=\dfrac{9t^2-81}{9+t^2}\implies x_C=-\dfrac{3t^2-27}{9+t^2},$$ 于是 $C\left(-\dfrac{3t^2-27}{9+t^2},\dfrac{6t}{9+t^2}\right)$, 同理可得 $D\left(\dfrac{3t^2-3}{1+t^2},-\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$, 因此直线 $CD$ 的方程为 $$y+\dfrac{2t}{1+t^2}=-\dfrac{4t}{3\left(t^2-3\right)}\left(x-\dfrac{3t^2-3}{1+t^2}\right),$$ 即 $$3yt^4+(4x-6)t^2-6yt^2+(4x-6)t-9y=0,$$ 令 $$y=4x-6=0\implies\begin{cases}x=\dfrac32,\\y=0,\end{cases}$$ 于是直线 $CD$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$.

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