每日一题[1947]数值估计

已知函数 $f(x)=a\tan x-{\rm e}^x-2a$（$a\in \mathbb R$）．

1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的图象在 $x=0$ 处的切线方程．

2、求证：${\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}< \dfrac{2\sqrt 3}3+1$．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-{\rm e}^x,$$ 于是在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=-3$．

2、在 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上，考虑函数 $g(x)=(1+\tan x){\rm e}^{-x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{\tan x(\tan x-1)}{{\rm e}^x},$$ 因此可得在该区间上 ${\rm e}^x-1>\tan x$，于是 $${\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}<\dfrac{1}{\tan \dfrac{\pi}{12}+1}=\dfrac{3+\sqrt 3}6.$$ 而在 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上，有 $$\dfrac{1}{1-\tan x}>\dfrac 1{1-x}>{\rm e}^x,$$ 于是 $${\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{1}{1-\tan\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt 3+1}2,$$ 因此 $${\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{3+\sqrt 3}6+\dfrac{\sqrt 3+1}2=\dfrac{2\sqrt 3}3+1,$$ 命题得证．

备注    事实上，由 ${\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{\sqrt 3+1}2$，结合 $y=x+\dfrac 1x$ 的单调性，可得 $${\rm e}^{\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}<\dfrac{\sqrt 3+1}2+\dfrac{2}{\sqrt 3+1}<\dfrac{3\sqrt 3-1}2<\dfrac{2\sqrt 3}3+1.$$