每日一题[1944]充分利用对称

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 构成公差为 $d$ 的等差数列，设 $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_6)$，若 $f(1)=f(2)=f(3)\ne 0$，则 $d$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt{\dfrac{70+6\sqrt{21}}{259}}$．

解析    设 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 的公差 $d=2n$，中项为 $m$，不妨设 $n>0$，则

$$f(x+m)=\left(x^2-25n^2\right)\left(x^2-9n^2\right)\left(x^2-n^2\right),$$ 题意为函数 $g(x)=f(x+m)$ 图象上有同一水平直线上的顺次三点 $A,B,C$，满足 $|AB|=|BC|=1$．

考虑水平直线 $y=t$ 与函数 $g(x)$ 的图象顺次（横坐标从小到大）有 $6$ 个公共点（如果少于 $6$ 个，认为是某些公共点重合的情形），记为 $X_1,X_2,\cdots,X_6$，那么所有的“等距点列”$X_i,X_j,X_k$ 共有以下情形，利用函数 $g(x)$ 是偶函数，以及零点的等距分布，可以排除掉一些．

$$\begin{array}{c|ccc|cc}\hline \text{情形}&(i,j,k)&\text{对称性}&\text{零点分布} \\ \hline 1&(1,2,3),(4,5,6)&&\times \\ \hline 2&(1,2,4),(3,5,6)&& \\ \hline 3&(1,2,5),(2,5,6)&\times&\\ \hline 4&(1,2,6),(1,5,6)&\times&\\ \hline 5&(1,3,4),(3,4,6)&& \\ \hline 6&(1,3,5),(2,4,6)&&\\ \hline 7&(1,3,6),(1,4,6)&\times&\\ \hline 8&(1,4,5),(2,3,6)&\times&\\ \hline 9&(2,3,4),(3,4,5)&&\times\\ \hline 10&(2,3,5),(2,4,5)&\times&\\ \hline 11&(1,(23),(45)),((23),(45),6)&&\\ \hline 12&(1,(45),6),(1,(23),6)&\times&\\ \hline 13&(1,2,(34)),((34),5,6)&&\times\\ \hline 14&(1,(34),5),(2,(34),6)&\times &\\ \hline 15&(1,(34),6)&&\\ \hline\end{array}$$ 固定 $n$，考虑以上可能的情形，可知当 $B$ 为 $g(x)$ 的极小值点 $x=0$ 对应的点 $\left(0,-225n^6\right)$ 时，等间距点列的间距最大，此时 $$g(1)=-225n^6\iff 1 - 35 n^2 + 259 n^4=0,$$ 解得 $n=\sqrt{\dfrac{35+3\sqrt{21}}{518}}$，因此 $d$ 的最小值为 $2n=\sqrt{\dfrac{70+6\sqrt{21}}{259}}$．