每日一题[1942]对称点计算

已知抛物线 $C:x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,1)$，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 关于直线 $l:y=2x+2$ 对称的点 $B$ 恰好在射线 $y=11$（$x\leqslant 3$）上，则直线 $AF$ 被 $C$ 截得的弦长为（       ）

A．$\dfrac{91}9$

B．$\dfrac{100}9$

C．$\dfrac{118}9$

D．$\dfrac{127}9$

答案    B．

解析    设 $A(4a,4a^2)$，直线 $AB$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=4a+2t,\\ y=4a^2-t,\end{cases}$，$AB$ 中点 $M$ 对应的参数为 $t_0$，则点 $B$ 对应的参数为 $2t_0$，有 $$4a^2-t_0=8a+4t_0+2\implies 2t_0=\dfrac{8a^2-16a+4}5,$$ 于是 $B\left(\dfrac{8a^2-8a-4}5,\dfrac{12a^2+16a+4}5\right)$，根据题意，有 $$\begin{cases} \dfrac{8a^2-8a-4}5\leqslant 3,\\ \dfrac{12a^2+16a+4}5=11,\end{cases}\implies a=\dfrac 32,$$ 从而 $A(6,9)$．根据抛物线的几何平均性质，直线 $AF$ 与抛物线的另一个交点 $E$ 的坐标为 $E\left(-\dfrac 23,\dfrac 19\right)$，因此所求弦长 $|AE|=\dfrac{100}9$．