每日一题[1820]容斥原理

$A,B,C,D,E$ 五人排成一排，$A$ 不与 $B$ 和 $C$ 相邻，$D$ 不与 $E$ 相邻，不同排法种数为_______．

答案    $28$．

解析    设 $p,q,r$ 分别表示 $A,B$ 相邻，$A,C$ 相邻，$D,E$ 相邻，则根据容斥原理，所求排法数

$$\begin{split} n\left(\overline{p\cup q\cup r}\right)&=\mathop{\rm A}\nolimits_5^5-n(p)-n(q)-n(r)+n(pq)+n(qr)+n(rp)-n(pqr)\\ &=\mathop{\rm A}\nolimits_5^5-\mathop{\rm A}\nolimits_4^4\mathop{\rm A}\nolimits_2^2\cdot 3+(2\mathop{\rm A}\nolimits_3^3+\mathop{\rm A}\nolimits_3^3\mathop{\rm A}\nolimits_2^2\mathop{\rm A}\nolimits_2^2\cdot 2)-2\mathop{\rm A}\nolimits_2^2\mathop{\rm A}\nolimits_2^2\\ &=28.\end{split}$$