每日一题[1776]拼图

现有边长为 $3,4,5$ 的三角形两个，边长分别为 $4,5,\sqrt{41}$ 的三角形四个，边长分别为 $\dfrac{5\sqrt 2}6,4,5$ 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_______个不同的四面体．

答案    $1$．

解析    记这三种三角形分别为 $A,B,C$，则 $A,B$ 为直角三角形，$C$ 为钝角三角形． ① 若一个四面体的三个面全等，那么必然四个面都全等，此时四面体每个面必然均为锐角三角形，因此不存在 $3X$ 的取法． ② 从拼合的角度考虑，不可能存在 $X+Y+2Z$ 的取法． 因此只需要考虑 $2X+2Y$ 的取法．注意到 $A,B,C$ 三种三角形都有长度 $4,5$ 边，因此相同的的三角形在拼合的时候是除边长为 $4,5$ 以外的边拼合在一起．利用余弦定理可得边长为 $4,5,m$ 的两个三角形，当长度为 $m$ 的边拼合时，其余两顶点的距离的取值范围是 $\left(\dfrac 9m,\sqrt{81-m^2}\right)$，于是 $$\begin{array}{c|cc|c}\hline m&\dfrac 9m&\sqrt{81-m^2}&n \\ \hline 5&\dfrac 95&\sqrt{66}&\sqrt{41}\\ \hline \sqrt{41}&\dfrac 9{\sqrt{41}}&\sqrt{41}&5\\ \hline \dfrac{5\sqrt 2}6&\dfrac{27\sqrt 2}5&\sqrt{80\dfrac7{18}} \\ \hline\end{array}$$ 因此只有 $2A+2B$ 可以构成四面体．