每日一题[1724]构造图形

实数 $x,y$ 满足 $x^2+(y-2)^2\leqslant 1$，则 $\dfrac{x+\sqrt 3y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的最大值和最小值分别是（         ）

A．最大值为 $2$，最小值为 $\sqrt 3$

B．最大值为 $2$，最小值为 $1$

C．最大值为 $2\sqrt 3$，最小值为 $\sqrt 3$

D．最大值为 $2\sqrt 3$，最小值为 $1$

答案    B．

解析    记 $O(0,0)$，$P(x,y)$，$Q(1,\sqrt 3)$，题中代数式为 $f$，则 $f$ 是 $\overrightarrow{OQ}$ 在 $\overrightarrow{OP}$ 方向上的投影数量 $\overline{OH}$，如图．

由于 $\langle OP,OQ\rangle$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{\pi}3\right]$，因此所求 $f$ 的最大值为 $|OQ|=2$，最小值为 $\dfrac12|OQ|=1$．