每日一题[1579]逐步估计

设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^2-10m-36$ 的正整数解．

答案     $13$．

解析   

情形一   $m$ 是一位数，则 $$m=m^2-10m-36,$$ 无解．

情形二     $m$ 是二位数，设为 $\overline {xy}$，则 $$xy=(10x+y)^2-10(10x+y)-36\implies 100x^2-100x-36+19xy=-y^2+10y,$$ 当 $x\geqslant 2$ 时，显然无解．因此 $x=1$，进而 $$y^2+9y-36=0\implies y=3,$$ 因此 $m=13$．

情形三     $m$ 是 $n$ 位数，$n\geqslant 3$，则 $$m^2-10m-36\geqslant 10^{2n-2}-10^n-36>9^n,$$ 不符合题意． 综上所述，所求正整数解为 $13$．