每日一题[1510]增量换元

实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda$（$\lambda>0$），求 $$f=\min\big\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\big\}$$ 的最大值．

答案       $\dfrac{\lambda}2$．

解析       不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，令 $b=a+s$，$c=a+s+t$，其中 $s,t>0$，则 $$a^2+(a+s)^2+(a+s+t)^2=\lambda,$$ 即 $$3a^2+(4s+2t)a+2s^2+2st+t^2-\lambda=0,$$ 由判别式可得 $$\Delta=(4s+2t)^2-4\cdot 3\cdot (2s^2+2st+t^2-\lambda)\geqslant 0,$$ 即 $$s^2+st+t^2\leqslant \dfrac 32\lambda,$$ 于是 $$f=\min\{s^2,t^2\}\leqslant \dfrac{s^2+st+t^2}3\leqslant \dfrac{\lambda}2,$$ 等号当 $s=t=\sqrt{\dfrac{\lambda}{2}}$，也即 $$(a,b,c)=\left(-\sqrt{\dfrac{\lambda}2},0,\sqrt{\dfrac{\lambda}2}\right)$$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\lambda}2$．