每日一题[1495]海伦与阿波罗

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AC=3$，$\sin C=k\sin A$（$k\geqslant2$），则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．

答案      $\dfrac {9k}{2(k^2-1)}$．

解法一      根据正弦定理，有 $c=ka$，于是 $\triangle ABC$ 的三边分别为 $a,3,ka$．由海伦公式，$\triangle ABC$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\sqrt{(a+3+ka)(-a+3+ka)(a-3+ka)(a+3-ka)}\\ &=\dfrac 12\sqrt{-(k^2-1)^2a^4+18(k^2+1)a^2-81}\\ &\leqslant \dfrac {9k}{2(k^2-1)},\end{split}$$ 等号当 $a=\dfrac{3\sqrt{k^2+1}}{k^2-1}$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $\dfrac {9k}{2(k^2-1)}$．

解法二     根据题意，$B$ 到 $A$ 点的距离为到 $C$ 点距离的 $k$ 倍，于是点 $B$ 的轨迹为圆，设该圆的半径为 $r$，圆心为 $O$，则 $OA,r,OC$ 成公比为 $k$ 的等比数列，于是 $$AC=OA-OC=\left(k-\dfrac 1k\right)r=3,$$ 从而 $$r=\dfrac{3k}{k^2-1},$$ 因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $$\dfrac 12\cdot AC\cdot r=\dfrac{9k}{2(k^2-1)}.$$