每日一题[1368]垂心的性质

已知锐角 $\triangle ABC$ 中 $A=\dfrac{\pi}6$，$H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心且 $AH=\sqrt 3$，则 $\sqrt 3BH+CH$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(1,\sqrt 3\right)$．

解法一    如图．

根据题意，$\triangle ABC$ 的外接圆直径

$$d=\dfrac{AH}{\cos A}=2,$$ 于是 $$\begin{split}\sqrt 3BH+CH&=2\sqrt 3\cos B+2\cos C\\ &=2\sqrt 3\cos B+2\cos\left(\dfrac{5\pi}6-B\right)\\ &=\sqrt 3\cos B+\sin B\\ &=2\sin\left(B+\dfrac{\pi}3\right),\end{split}$$ 其中 $\dfrac{\pi}3<B<\dfrac{\pi}2$，于是所求取值范围是 $\left(1,\sqrt 3\right)$．

解法二    由于 $A,F,H,E$ 四点共圆，于是

$$\angle FHB=\angle EHC=\dfrac{\pi}6,$$ 设 $\angle BAH=\theta$，则 $$BH=2\sin\theta,CH=2\sin\left(\dfrac{\pi}6-\theta\right),$$ 从而 $$\sqrt 3BH+CH=2\sqrt 3\sin\theta+2\sin\left(\dfrac{\pi}6-\theta\right)=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right),$$ 其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$，从而所求取值范围是 $\left(1,\sqrt 3\right)$．