每日一题[1303]游标卡尺

已知 $m\in\mathbb N^{\ast}$，函数 $f(x)=\sin\left(\dfrac m5x+\dfrac{\pi}3\right)$ 满足 $\forall n\in\mathbb Z,\{ f(x)\mid n\leqslant x\leqslant n+1\}=[-1,1]$，则 $m$ 的最小值为_______．

答案    $32$．

解析    函数 $f(x)$ 的极值点 $x$ 满足\[\dfrac m5x+\dfrac{\pi}3=k\pi+\dfrac{\pi}2,k\in\mathbb Z,\]即\[x=\dfrac{(6k+1)\pi}{2m},k\in\mathbb Z,\]因此题意即\[\forall n\in\mathbb Z,\exists k\in\mathbb Z,n\leqslant \dfrac{(6k+1)\pi}{2m}<\dfrac{(6k+7)\pi}{2m}\leqslant n+1,\]也即\[\forall n\in\mathbb Z,\exists k\in\mathbb Z,\dfrac{mn}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant k\leqslant \dfrac{m(n+1)}{5\pi}-\dfrac 76.\]
充分条件探路    考虑区间\[D=\left[\dfrac{mn}{5\pi}-\dfrac 16,\dfrac{m(n+1)}{5\pi}-\dfrac 76\right],\]其长度\[l(m)=\dfrac{m}{5\pi}-1,\]因此有\[l(31)<1<l(32).\]因此当 $m=32$ 时，区间 $D$ 的长度大于 $1$，在区间 $D$ 上必然存在整数，符合题意．
当 $m\leqslant 31$ 时，必然存在正整数 $n$，使得\[\left\{\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16\right\}<1-l(m),\]例如当 $m=31$ 时，取 $n=31$ 有\[\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16\approx 61.0125,l(31)\approx 0.9735,\]此时有\[61<\dfrac{31n}{5\pi}-\dfrac 16<\dfrac{31(n+1)}{5\pi}-\dfrac 16<62,\]不符合题意．
综上所述，$m$ 的最小值为 $32$．

备注    事实上，令 $n=-1$，可得 $$D=\left[-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 16,-\dfrac 76\right],$$ 于是必然有 $$-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant -2,$$ 从而 $$m\geqslant 5\pi\cdot \dfrac{11}{6},$$ 于是 $m\geqslant 29$．此时再令 $n=-2$，则 $$D=\left[-\dfrac{2m}{5\pi}-\dfrac 16,-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 76\right],$$ 有 $$-\dfrac{m}{5\pi}-\dfrac 76\leqslant -\dfrac{29}{5\pi}-\dfrac 76<-3,$$ 于是 $$-\dfrac{2m}{5\pi}-\dfrac 16\leqslant -4,$$ 有 $$m\geqslant 5\pi\cdot \dfrac{23}{11},$$ 于是 $m\geqslant 31$，结合 $m=31$ 的反例就得到了严格的证明．