每日一题[1280]迭代函数

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n^2-(1+a_{n+1})a_n+2=0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：$2<a_{n+1}<a_n$；

2、设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n$．

解析

1、根据题意，有

$$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-a_n+2}{a_n},$$ 也即 $$a_{n+1}-2=\dfrac{a_n-1}{a_n}\cdot (a_n-2),$$ 容易递推证明 $$a_n>2,n\in\mathbb N^{\ast},$$ 进而 $$\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=1-\dfrac{1}{a_n}<1,$$ 于是 $$a_{n+1}<a_n,n\in\mathbb N^{\ast},$$ 因此原命题得证．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$2<a_n\leqslant 3,n\in\mathbb N^{\ast},$$ 于是 $$\dfrac 12<1-\dfrac{1}{a_n}\leqslant \dfrac 23,$$ 从而 $$\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}\leqslant \dfrac 23,$$ 于是 $$\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\leqslant a_n-2\leqslant \left(\dfrac 23\right)^{n-1},$$ 因此 $$2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n,$$ 原命题得证．