每日一题[1161]构造图形

已知 $a,b,c$ 是正实数 $a,b,c$ 且满足 $\begin{cases}a^2+b^2=3,\\ a^2+c^2+ac=4,\\ b^2+c^2+\sqrt 3 bc=7,\end{cases}$ 求 $(a,b,c)$．

解    如图，以 $O$ 为出发点，作长度为 $a,b,c$ 的三条线段 $OA,OB,OC$，使得 $\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle AOC=120^{\circ}$．由已知条件可得

$$\angle COB=150^{\circ}.$$ 由余弦定理知 $$AB=\sqrt {a^2+b^2}=\sqrt 3 , AC=2 , BC=\sqrt 7,$$ 于是 $\angle CAB=90^{\circ}$．过 $O$ 作 $OE\perp AC$，$OF\perp AB$．设 $AE=m$，$OE=n$．

因为 $\angle ABO= \angle OAE$，所以 $\dfrac {OF}{BF}=\dfrac {OE}{AE}$，即

$$\dfrac {n}{m}=\dfrac {m}{\sqrt 3-n}.$$ 又 $\angle AOC=120^{\circ}$，所以 $\tan \angle AOC=-\sqrt 3$，即 $$\dfrac {\dfrac mn+\dfrac {2-m}{n}}{1-\dfrac mn\cdot \dfrac {2-m}{n}}=-\sqrt 3,$$ 于是可得 $$\begin{cases}m=\dfrac {30}{37},\\ n =\dfrac {12\sqrt 3}{37},\end{cases}$$ 所以 $$(a,b,c)=\left(\dfrac {6\sqrt {37}}{37},\dfrac {5\sqrt {111}}{37},\dfrac {8\sqrt {37}}{37}\right).$$