如图，某市在海岛 \(A\) 上建了一水产养殖中心．在海岸线上有相距 \(70\) 公里的 \(B,C\) 两个小镇，并且 \(AB=30\) 公里，\(AC=80\) 公里，已知 \(B\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(3\) 百人，\(C\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(5\) 百人．现欲在 \(BC\) 之间建一个码头 \(D\)，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 \(1:2\)．
（1）求 \(\sin\angle ABC\) 的大小；
（2）设 \(\angle ADB=\theta\)，试确定 \(\theta\) 的大小，使得运输总成本最少．
分析与解 （1）根据余弦定理，有\[\cos\angle ABC=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=-\dfrac 17,\]于是\[\sin\angle ABC=\dfrac{4\sqrt 3}7.\]
（2）不妨设水路运输成本为 \(m\) 元 每百人每公里，陆路运输成本为 \(2m\) 元每百人每公里，则总成本\[\begin{split}p=&8AD\cdot m+(3BD+5CD)\cdot 2m\\=&(700+8AD-4BD)\cdot m.\end{split}\]在 \(\triangle ABD\) 中应用正弦定理，有\[\dfrac{AB}{\sin\theta}=\dfrac{AD}{\sin\angle ABC}=\dfrac{BD}{\sin\left(\theta+\angle ABC\right)},\]解得\[\begin{aligned}AD=&\dfrac{120\sqrt 3}{7\sin\theta},\\BD=&\dfrac{120\sqrt 3\cos\theta}{7\sin\theta}-\dfrac{30}7,\end{aligned}\]因此\[2AD-BD=\dfrac{120\sqrt 3}{7}\cdot \dfrac{2-\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{30}7,\]设\[y=\dfrac{2-\cos\theta}{\sin \theta},\]则\[y\sin\theta+\cos\theta=2,\]于是\[\dfrac{2}{\sqrt{y^2+1}}\leqslant 1,\]解得 \(y\geqslant \sqrt 3\)，且 \(\theta=\dfrac{\pi}3\) 时取得等号．
因此当 \(\theta=\dfrac{\pi}3\) 时，运输总成本最小．