每日一题[1085]省一点是一点

如图，某市在海岛 $A$ 上建了一水产养殖中心．在海岸线上有相距 $70$ 公里的 $B,C$ 两个小镇，并且 $AB=30$ 公里，$AC=80$ 公里，已知 $B$ 镇在养殖中心工作的员工有 $3$ 百人，$C$ 镇在养殖中心工作的员工有 $5$ 百人．现欲在 $BC$ 之间建一个码头 $D$，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 $1:2$．

（1）求 $\sin\angle ABC$ 的大小；

（2）设 $\angle ADB=\theta$，试确定 $\theta$ 的大小，使得运输总成本最少．

分析与解　（1）根据余弦定理，有 $$\cos\angle ABC=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=-\dfrac 17,$$ 于是 $$\sin\angle ABC=\dfrac{4\sqrt 3}7.$$

（2）不妨设水路运输成本为 $m$ 元 每百人每公里，陆路运输成本为 $2m$ 元每百人每公里，则总成本 $$\begin{split}p=&8AD\cdot m+(3BD+5CD)\cdot 2m\\=&(700+8AD-4BD)\cdot m.\end{split}$$ 在 $\triangle ABD$ 中应用正弦定理，有 $$\dfrac{AB}{\sin\theta}=\dfrac{AD}{\sin\angle ABC}=\dfrac{BD}{\sin\left(\theta+\angle ABC\right)},$$ 解得 $$\begin{aligned}AD=&\dfrac{120\sqrt 3}{7\sin\theta},\\BD=&\dfrac{120\sqrt 3\cos\theta}{7\sin\theta}-\dfrac{30}7,\end{aligned}$$ 因此 $$2AD-BD=\dfrac{120\sqrt 3}{7}\cdot \dfrac{2-\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{30}7,$$ 设 $$y=\dfrac{2-\cos\theta}{\sin \theta},$$ 则 $$y\sin\theta+\cos\theta=2,$$ 于是 $$\dfrac{2}{\sqrt{y^2+1}}\leqslant 1,$$ 解得 $y\geqslant \sqrt 3$，且 $\theta=\dfrac{\pi}3$ 时取得等号．

因此当 $\theta=\dfrac{\pi}3$ 时，运输总成本最小．