每日一题[1086]恒成立

若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立,则实数 $a$ 的最大值是(  

A.$\dfrac 14$
B.$\dfrac 12$
C.$1$
D.$2$


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正确答案是B

分析与解 取 $y=0$,则有\[\forall x>0,2a\leqslant \dfrac{{\rm e}^{x-2}+1}{x}.\]记右侧函数为 $f(x)$,则其导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-2}(x-1)-1}{x^2},\]考虑到\[\left({\rm e}^{x-2}(x-1)\right)'={\rm e}^{x-2}\cdot x>0,\]于是 $f'(x)$ 有唯一零点 $x=2$,于是 $f(x)$ 有极小值,亦为最小值\[f(2)=1.\]因此 $a\leqslant \dfrac 12$.接下来证明 $a=\dfrac 12$ 符合题意,也即\[\forall x,y\geqslant 0,{\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}-2x+2\geqslant 0.\]

设左侧函数为 $g(x)$,则\[\begin{split} g(x)&\geqslant 2\left({\rm e}^{x+y-2}\cdot {\rm e}^{x-y-2}\right)^{\frac 12}-2x+2\\&=2{\rm e}^{x-2}-2x+2\\&\geqslant 2\left[(x-2)+1\right]-2x+2\\&=0,\end{split}\]因此不等式成立.

综上所述,实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac 12$

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