每日一题[1042]端点分析

分析与解　(1)当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=2-a-\dfrac 1x+2\ln x=1-\dfrac 1x+2\ln x.$$ 注意到当 $x>0$ 时，函数 $f'(x)$ 为单调递增函数，且 $f'(1)=0$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

（2）端点分析，注意到 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=1-a$，因此 $a=1$ 为分界点讨论．

情形一　当 $a>1$ 时，有 $f'(1)<0$，且 $$f'\left({\rm e}^a\right)=2-a-\dfrac 1x+2a>1+a>0,$$ 于是函数 $f'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有零点，设为 $x_0$，于是在 $(1,x_0)$ 上，$f'(x)<0$，结合 $f(1)=0$，可得在此区间上 $f(x)<0$，不符合题意．

情形二　当 $a\leqslant 1$ 时，有 $$f(x)=(2x-1)\ln x-a(x-1)\geqslant (2x-1)\ln x-(x-1),$$ 利用第 $(1)$ 小题的结果，函数 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增，又 $f(1)=0$，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

（3）根据第 $(2)$ 小题的过程，可得当 $a\leqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上没有零点，不符合题意．

当 $a>1$ 时，函数 $f'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有零点 $x_0$，且 $f(x_0)<f(1)<0$．结合 $$f\left({\rm e}^a\right)=\left(2{\rm e}^a-1\right)a-a{\rm e}^a+a=a{\rm e}^a>0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(x_0,{\rm e}^a\right)$ 上必然有零点．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．