练习题集[97]基础练习

1.若 \(\triangle ABC\) 的三个顶点对应的复数为 \(z_1,z_2,z_3\),且满足 \(\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2{\rm i}\),求 \(\triangle ABC\) 的面积与其最长边的平方之比.

2.已知函数 \(f(x)=\dfrac{2}{1+2^x}+\dfrac{1}{1+4^x}\) 满足条件 \(f\left({\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)\right)=1\),其中 \(a>1\),则 \(f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)\) 的值为______.

3.由数字 \(1,2,3,4,5,6,7\) 组成的无重复数字的七位正整数,其中首位是 \(1\) 且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于 \(2\) 的正整数的个数为_________.

4.已知 $|x|\leqslant 1$,$|y|\leqslant 1$,则 $\left|x^2-xy-y^2\right|$ 的取值范围是_______.

5.设\[\begin{aligned}a&=a(x)=1+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots,\\b&=b(x)=\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots,\\c&=c(x)=\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^8}{8!}+\cdots,\end{aligned}\]则 $a^3+b^3+c^3-3abc=$______.

6.已知 \(f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)\)\(g(x)=f(x)-\dfrac 13\)\(x_1,x_2\) 是函数 \(g(x)\) \([0,\pi]\) 上的零点,则 \(\cos\left(x_1-x_2\right)\) 的值为_______

7.已知 \(a>0\) \(a\ne 2\),求证:\(\dfrac{(a-2)n\cdot a^n}{a^n-2^n}\leqslant \dfrac{a^{n+1}}{2^{n+1}}+1\)


 

参考答案

1.\(\dfrac 15\).

根据题意,\(\overrightarrow {AC}\) 逆时针旋转 \(\arctan 2\) 角且长度变为原来的 \(\sqrt 5\) 倍后得到 \(\overrightarrow {AB}\).不妨设 \(AC=1\),则 \(AB=\sqrt 5\),根据余弦定理\[\begin{split}BC&=\sqrt{AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\angle BAC}\\&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt 5\right)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt 5\cdot \cos\arctan 2}\\&=2,\end{split}\]因此所求比值为 \(\dfrac 15\).

2.\(2\).

根据题意,函数 \(f(x)\) 的对称中心为 \(\left(0,f(0)\right)\),即 \( \left(0,\dfrac 32\right)\).又\[{\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)+{\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)=0,\]于是\[f\left({\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)\right)+f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)=\dfrac 32\cdot 2,\]因此\[f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)=2.\]

 函数 \(y=\dfrac{1-a^x}{1+a^x}\) 是常见的奇函数,这个结论的直接推论为函数 \(f(x)=\dfrac{m}{1+a^x}\) 关于点 \(\left(0,\dfrac m2\right)\) 对称.

3.\(14\).

用枚举法,满足条件的正整数有\[\begin{split}&1234567,1234576,1234675,1234657,1235467,\\&1235764,1243567,1243576,1246753,1324567,\\&1324576,1324657,1324675,1357642,\end{split}\]共计 \(14\) 个.

4. $\left[0,\dfrac 54\right]$.

根据题意,有\[x^2-xy-y^2=\left(x-\dfrac 12y\right)^2-\dfrac 54y^2\geqslant -\dfrac{5y^2}4\geqslant -\dfrac 54,\]且\[x^2-xy-y^2= -\left(y+\dfrac 12x\right)^2+\dfrac 54x^2\leqslant \dfrac 54x^2\leqslant \dfrac 54,\]第一个不等式的等号当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,1\right)$ 或 $(x,y)=\left(-\dfrac 12,-1\right)$ 时取得;第二个不等式的等号当 $(x,y)=\left(1,-\dfrac 12\right)$ 或 $(x,y)=\left(-1,\dfrac 12\right)$ 时取得.
进而可得 $\left|x^2-xy-y^2\right|$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 54\right]$.

5.$1$.

根据题意,有\[a'(x)=c(x),b'(x)=a(x),c'(x)=b(x),\]令\[f(x)=a^3(x)+b^3(x)+c^3(x)-3a(x)b(x)c(x),\]则\[\begin{split}f'(x)&=3a^2(x)a'(x)+3b^2(x)b'(x)+3c^2(x)c'(x)-3\left[a'(x)b(x)c(x)+a(x)b'(x)c(x)+a(x)b(x)c'(x)\right]\\&=3a^2(x)c(x)+3b^2(x)a(x)+3c^2(x)b(x)-3\left[b(x)c^2(x)+c(x)a^2(x)+a(x)b^2(x)\right]\\&=0,\end{split}\]因此 $f(x)$ 是常数函数.

令 $x=0$,可得 $(a,b,c)=(1,0,0)$,于是可得 $f(x)=1$.

6.\(\dfrac 13\)

\(t_1=2x_1-\dfrac{\pi}3\)\(t_2=2x_2-\dfrac{\pi}3\),则 \(t_1,t_2\) 是关于 \(t\) 的方程\[\sin t=\dfrac 13,\] \(\left[-\dfrac{\pi}3,\dfrac{5\pi}3\right]\) 上的零点.注意到正弦函数的图象与性质,有 \(t_1,t_2\) 关于 \(t=\dfrac{\pi}2\) 对称,不妨设 \(0<t_1<\dfrac{\pi}2<t_2<\pi\),此时\[\cos\left(x_1-x_2\right)=\cos\dfrac{t_1-t_2}2=\cos\left(\dfrac{\pi}2-t_1\right)=\sin t_1=\dfrac 13.\]

7.根据题意,欲证不等式即\[\dfrac{2\left(\dfrac a2-1\right)n\cdot\left(\dfrac a2\right)^n}{\left(\dfrac a2\right)^n-1}\leqslant\left(\dfrac a2\right)^{n+1}+1,\]也即\[\dfrac{2n(x-1)x^n}{x^n-1}\leqslant x^{n+1}+1,\]也即\[\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x+\cdots+x^{n-1}\right)\geqslant 2nx^n,\]而根据均值不等式\[LHS\geqslant 2\cdot x^{\frac {n+1}2}\cdot n\cdot x^{\frac{n-1}2}=RHS,\]于是原命题得证.

 

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