分析与解 (1)当 $a=1$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2-a-\dfrac 1x+2\ln x=1-\dfrac 1x+2\ln x.\]注意到当 $x>0$ 时,函数 $f'(x)$ 为单调递增函数,且 $f'(1)=0$,于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$,单调递减区间是 $(0,1)$.
(2)端点分析,注意到 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=1-a$,因此 $a=1$ 为分界点讨论.
情形一 当 $a>1$ 时,有 $f'(1)<0$,且\[f'\left({\rm e}^a\right)=2-a-\dfrac 1x+2a>1+a>0,\]于是函数 $f'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有零点,设为 $x_0$,于是在 $(1,x_0)$ 上,$f'(x)<0$,结合 $f(1)=0$,可得在此区间上 $f(x)<0$,不符合题意.
情形二 当 $a\leqslant 1$ 时,有\[f(x)=(2x-1)\ln x-a(x-1)\geqslant (2x-1)\ln x-(x-1),\]利用第 $(1)$ 小题的结果,函数 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增,又 $f(1)=0$,符合题意.
综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$.
(3)根据第 $(2)$ 小题的过程,可得当 $a\leqslant 1$ 时,$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上没有零点,不符合题意.
当 $a>1$ 时,函数 $f'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有零点 $x_0$,且 $f(x_0)<f(1)<0$.结合\[f\left({\rm e}^a\right)=\left(2{\rm e}^a-1\right)a-a{\rm e}^a+a=a{\rm e}^a>0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(x_0,{\rm e}^a\right)$ 上必然有零点.
综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$.