每日一题[1043]透视原理的应用

用一个平面去截正四面体,使它成为形状、大小都相同的两个几何体,则这样的平面个数为(  )

A.\(6\)
B.\(7\)
C.\(10\)
D.无数


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正确答案是D.

分析与解 过对棱中点的平面均满足要求.
如图,$M,N$ 分别是棱 $AB,CD$ 的中点,对于过 $M,N$ 的任一截面 $MPNQ$,由透视原理可以得到$$\dfrac{AP}{DP}=\dfrac{BQ}{CQ},$$从而有$$AP=BQ,DP=QC.$$依次看各棱与各面的角,可以得到平面 $MPNQ$ 将正四面体分成的两部分完全相同,而过 $M,N$ 的平面有无数个.

更进一步,只需要$AM=DN$,过$M,N$的截面就可以满足要求.


透视原理 对于四面体$ABCD$,点$M,N,P,Q$分别是棱$AB,CD,AD,BC$上的点,若$\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{CN}{ND}=1$,且$\dfrac{DP}{PA}\cdot\dfrac{BQ}{QC}=1$,则直线$MP,QN,BD$三线共点.证明 设$MP\cap BD=X$,在$\triangle ABD$中用梅涅劳斯定理有$$\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BX}{XD}\cdot\dfrac{DP}{PA}=1.$$设$QN\cap BD=X'$,在$\triangle BCD$中用梅涅劳斯定理有$$\dfrac{CN}{ND}\cdot\dfrac{DX'}{X’B}\cdot\dfrac{BQ}{QC}=1.$$两式两边分别相乘得到$$\dfrac{BX}{XD}\cdot\dfrac{DX'}{X'B}=1.$$所以$X$与$X'$重合,命题得证.

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每日一题[1043]透视原理的应用》有 2 条评论

  1. cbc123e说:

    “分析与解”当中“由透视原理可以得到”的比例式打错了,应为 AP/DP = BQ/CQ.

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