每日一题[1038]正“斜”不两立

已知平面 $\alpha$ 内梯形 $ABCD$ 与梯形 $A_1B_1C_1D_1$ 分别在直线 $l$ 两侧（与直线 $l$ 没有公共点）且关于直线 $l$ 对称．将平面 $\alpha$ 沿直线 $l$ 折成直二面角，则 $A,B,C,D,A_1,B_1,C_1,D_1$ 可以确定平面的个数可能是（　　）

A．$56$
B．$32$
C．$26$
D．$16$

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注：每日一题中所有选择题默认为不定项选择．

正确答案是BC．

分析与解　先考虑从 $8$ 个点中选出 $3$ 个，有 ${\rm C}_8^3$ 种选法．然后计算四点共面的数量．考虑到 $A,B,C,D$ 以及 $A_1,B_1,C_1,D_1$ 以及两个梯形的四条边和两条对角线分别对应相交或平行，有 $8$ 组四点共面．

情形一　$AB\parallel CD\parallel l$．此时有额外的 $A_1,B_1,C,D$ 与 $A,B,C_1,D_1$ 共面，因此总数为

$${\rm C}_8^3-3\cdot 10=26.$$
情形二　$AB\parallel CD$ 且延长线与直线 $l$ 相交．此时没有额外的四点共面，因此总数为 $${\rm C}_8^3-3\cdot 8=32.$$