2016年北京大学自主招生数学试题回忆版

一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知$\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}-\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=2\left(0<x<2\pi\right)$，则$x$的取值范围是（　　）

A．$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$

B．$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$

C．$\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$

D．前三个答案都不对

2．$\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2016}+1\right)$的个位数字是（　　）

A．$1$

B．$3$

C．$5$

D．前三个答案都不对

3．点$P$位于$\triangle ABC$所在的平面内，使得$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$的面积相等，则满足题意的点$P$有（　　）

A．$1$个

B．$3$个

C．$5$个

D．前三个答案都不对

4．记$f(n)$为最接近$\sqrt{n}$的整数，其中$n\in \mathbf{N}^{*}$．若$\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2016$，则正整数$m$的值为（　　）

A．$1015056$

B．$1017072$

C．$1019090$

D．前三个答案都不对

5．实数$x,y,z$满足$x+y+z=2016$，$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2016}$，则$(x-2016)(y-2016)(z-2016)=$（　　）

A．$0$

B．$1$

C．$-1$

D．前三个答案都不对

6．方程组$\begin{cases}a^3-b^3-c^3=3abc,\\a^2=2(b+c)\end{cases}$的非负整数解有（　　）

A．$1$组

B．$4$组

C．$5$组

D．前三个答案都不对

7．$4$个半径为$1$的球两两外切，则这$4$个球的外切正四面体的棱长为（　　）

A．$2+2\sqrt{2}$

B．$2+2\sqrt{3}$

C．$2+2\sqrt{6}$

D．前三个答案都不对

8．将$1,2,\cdots,100$分成三组，使得第一组数的和为$102$的倍数，第二组数的和为$203$的倍数，第三组和为$304$的倍数．则不同的分法共有（　　）

A．$1$种

B．$2$种

C．$3$种

D．前三个答案都不对

二、填空题．

9．已知$f(x)=3x^2-x+4$，$g(x)$为整系数多项式，$f\left(g(x)\right)=3x^4+18x^3+50x^2+69x+a,$则$g(x)$的各项系数之和为_______．

10．$54$张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．

11．用高斯函数$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，则方程$n\left[2002\sqrt{2001^2+1}\right]=2002\left[n\sqrt{2001^2+1}\right]$的正整数解有_______个．

12．空间中的一点$P(x,y,z)$满足$\exists n\in \mathbf N^*$，使得$|3x|^n+|8y|^n+|z|^n \leqslant 1$成立，则所有满足要求的点$P$所形成的空间几何体的体积为_______．

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参考答案与解析

1．B．

根据题意，有$\sin x>0$，$\cos x<0$，于是$x$是第二象限的角．

2．C．

因为$2^2+1=5$，且对于任意正整数$k$，都有$2^k+1$为奇数，所以
$$\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2016}+1\right)\equiv 5 \pmod{10}.$$
3．D．

考虑到平面内使$\triangle PAB$和$\triangle PBC$的面积相等的点的轨迹为直线$BM$以及过点$B$且与$AC$平行的直线，其中$M$为边$AC$的中点，因此满足题意的点$P$有$4$个：$\triangle ABC$的重心，或者由$P,A,B,C$四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．

若$f(n)=k$，则 $$k^2-k+1 \leqslant n \leqslant k^2+k,$$ 所以 $$\begin{split} &f(1)=f(2)=1,\\ &f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=2,\\ &\cdots ,\end{split}$$ 进而有
$$2016=\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2\cdot 1+4\cdot \dfrac{1}{2}+6\cdot\dfrac{1}{3}+\cdots+2016\cdot\dfrac{1}{1008},$$
故$m=2+4+6+\cdots+2016=1017072$．

5．A．

由于 $$\begin{split} (x-m)(y-m)(z-m)&=xyz-m(xy+yz+zx)+m^2(x+y+z)-m^3,\\&=mxyz\left[\dfrac 1m-\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\right)\right]+m^2\left[(x+y+z)-m\right],\end{split}$$ 于是所求代数式的值为$0$

6．B．

根据题意，有 $$\begin{split} a^3-b^3-c^3-3abc&= a^3-(b+c)^3+3bc(b+c-a)\\&=a^3-\dfrac 18a^6+3bc\left(\dfrac 12a^2-a\right),\\&=a\left(1-\dfrac 12a\right)\left[a^2\left(1+\dfrac 12a+\dfrac 14a^2\right)-3bc\right]\\&=0,\end{split}$$
当$a=0$时，$(b,c)=(0,0)$；当$a=2$时，$(b,c)=(0,2),(1,1),(2,0)$．当$a\ne 0,2$时，有
$$a^2\left(1+\dfrac 12a+\dfrac 14a^2\right)-3bc>\dfrac 14a^4-3bc=(b+c)^2-3bc\geqslant 0,$$ 于是题中方程组的非负整数解共有$4$组．

7．C．

棱长为$a$的正四面体的内切球半径为$\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$．设$4$个半径为$1$的球的球心分别为$O_1,O_2,O_3,O_4$，则正四面体$O_1O_2O_3O_4$的棱长为$2$，故其内切球半径为$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$．设这$4$个球的外切正四面体为$ABCD$，则正四面体$ABCD$的内切球半径为$1+\dfrac{\sqrt{6}}{6}$，故正四面体$ABCD$的棱长为$2+2\sqrt{6}$．

8．D．

假设这样的分法存在，设三组数的和分别为$102x,203y,304z$，$x,y,z\in \mathbf{N}^{*}$，则 $$102x+203y+304z=5050,$$
即 $$101(x+2y+3z)+(x+y+z)=101\cdot 50,$$ 于是 $$101\mid x+y+z,$$
因此$x+y+z \geqslant 101$．而此时 $$102x+203y+304z>102(x+y+z)>5050,$$ 矛盾．故不存在满足题意的分法．

9．$8$．

易知$g(x)$为二次多项式，设$g(x)=px^2+qx+r$，则
$$f(g(x))=3g^2(x)-g(x)+4=3p^2x^4+6pqx^3+\left(3q^2+6pr-p\right)x^2+(6qr-q)x+3r^2-r+4,$$ 对比系数，依次解得$p=1$，$q=3$，$r=4$，$a=48$．故$g(x)$的各项系数之和为$8$．

10．$44$．

每一轮剩下的牌依次是 $$\begin{split} &2,4,6,\cdots ,52,54,\\&4,8,12,\cdots ,48,52,\\&4,12,20,\cdots ,44,52,\\&12,28,44,\\&12,44,\\&44.\end{split}$$
11．$4002$．

因为 $$2002\cdot 2001<2002\sqrt{2001^2+1}<2002\cdot 2001+1,$$ 所以$\left[2002\sqrt{2001^2+1}\right]=2002\cdot 2001$．于是原方程等价于 $$\left[n\sqrt{2001^2+1}\right]=2001n,$$ 即 $$2001n \leqslant n\sqrt{2001^2+1}<2001n+1,$$ 解得$n<\sqrt{2001^2+1}+2001$，所以原方程的正整数解有$4002$组．

12．$\dfrac{1}{3}$．

考虑第一卦限，只需要$3x,8y,z\in (0,1)$即可．因此所有满足要求的点$P$所形成的空间几何体为一个长方体，体积为 $$\dfrac 13\cdot \dfrac 18\cdot 1\cdot 8=\dfrac 13.$$

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