每日一题[727]函数遇到恒成立

已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，若存在实数$t$，当$x\in [1,m]$时，$f(x+t)\leqslant x$恒成立，则实数$m$的最大值为________．

分析与解　$4$．

$t$控制抛物线$y=x^2$的左右平移，如图：当点$(1,1)$在函数$y=f(x+t)$的图象上时，解得$t=-3$，再通过$(x-2)^2=x$就可以得到$m=4$．

从严格的代数计算角度来说，由必要条件 $$\begin{cases} f(1+t)\leqslant 1,\\f(m+t)\leqslant m,\end{cases}$$ 得到 $$\begin{cases} -3\leqslant t\leqslant -1,\\-\sqrt m-m-1\leqslant t\leqslant \sqrt m-m-1,\end{cases}$$ 因为$m>1$，所以有$\sqrt m-m-1<-1$，从而当$\sqrt m-m-1\geqslant -3$时，$t$存在，解得$m\leqslant 4$．