每日一题[716]抛物线的几何性质

已知抛物线$C_1:x^2=2py$($p>0$)与圆$C_2:x^2+y^2=8$的两个交点之间的距离为$4$．

(1) 求$p$的值；

(2) 若$C_1$在点$A,B$处切线垂直相交于点$P$，且点$P$在圆$C_2$内部，直线$AB$与$C_2$相交于$C,D$两点，求$|AB|\cdot |CD|$的最小值．

分析与解　容易求得$p=1$，抛物线的方程为$x^2=2y$．

设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，设$AB$交$y$轴于$(0,y_0)$，则抛物线的几何平均性质知 $$y_0^2=y_1y_2=\dfrac 14x_1^2x_2^2.$$ 又由$A,B$处的切线互相垂直知$x_1x_2=-1$，所以$y_0=\dfrac 12$，即直线$AB$恒过焦点．

于是当直线$AB$与$x$轴平行时，$|AB|$和$|CD|$同时取得最小值，有 $$\left(|AB|\cdot|CD|\right)_{\min}=2\cdot 2\sqrt{8-\dfrac 14}=2\sqrt{31}.$$

注　下面给出本题的常规解法：

(1)由点$(2,2)$在$C_1$上知$p=1$，所以$C_1:x^2=2y$．

(2)设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，对$y=\dfrac 12x^2$求导得$y'=x$，所以由题意知$x_1x_2=-1$，联立$C_1$在点$A,B$处的切线方程 $$\begin{cases} y=x_1x-\dfrac 12x_1^2,\\y=x_2x-\dfrac 12x_2^2,\end{cases}$$ 得到交点$P\left(\dfrac {x_1+x_2}{2},-\dfrac 12\right)$．由点$P$在圆内得 $$(x_1+x_2)^2<31.$$ 又因为直线 $$AB:\dfrac 12(x_1+x_2)x-y+\dfrac 12=0$$ 过抛物线的焦点，所以 $$|AB|\cdot|CD|=\dfrac 12(x_1^2+x_2^2+2)\cdot 2\sqrt{8-d^2}.$$ 其中$d$为$O$到直线$AB$的距离 $$d=\dfrac{\frac 12}{\sqrt{\frac 14(x_1+x_2)^2+1}}=\dfrac 1{\sqrt{x_1^2+x_2^2+2}}.$$ 令$m=x_1^2+x_2^2<33$，则 $$|AB|\cdot|CD|=\sqrt{(m+2)(8m+15)}.$$ 又由$m=x_1^2+\dfrac 1{x_1^2}\geqslant 2$，所以$m\in[2,33)$．

当$m=2$时，$|AB|\cdot|CD|$取到最小值$2\sqrt{31}$．