每日一题[667]对数函数遇见恒成立

已知$f(x)=x+x\ln x$，若$k\in\mathcal Z$，且$k(x-2)<f(x)$对任意$x>2$恒成立，则$k$的最大值为________．

分析与解　$4$．

法一　去对数
题意即 $$\forall x>2,\ln x>(k-1)-\dfrac{2k}x,$$ 即 $$\forall x\in\left(0,\dfrac 12\right),\ln x < 2kx+(1-k).$$ 取$y=\ln x$在$x=\dfrac{1}{2k}$处的切线，有 $$\ln x\leqslant 2k\left(x-\dfrac{1}{2k}\right)+\ln\dfrac{1}{2k},$$ 于是只需要 $$-1+\ln\dfrac{1}{2k}<1-k,$$ 即 $$k-2-\ln (2k)<0,$$ 容易验证$k$的最大值为$4$．

法二　分离变量
题意即 $$\forall x>2,k<\dfrac{x+x\ln x}{x-2},$$ 设右边为$\varphi(x)$，则 $$\varphi'(x)=\dfrac{x-2\ln x-4}{(x-2)^2},$$ 由于 $$\left(x-2\ln x-4\right)'_x=1-\dfrac 2x>0,$$ 于是$\varphi'(x)$有唯一零点$x_0\in (8,10)$，从而$\varphi(x)$的极小值，亦为最小值 $$\varphi(x_0)=\dfrac{x_0+x_0\ln x_0}{x_0-2}=\dfrac{x_0+x_0\cdot \dfrac 12(x_0-4)}{x_0-2}=\dfrac {x_0}2\in (4,5),$$ 于是$k$的最大值为$4$．

法三　不分离变量
题意即 $$\forall x>2,x\ln x+(1-k)x+2k>0.$$ 记左边为函数$g(x)$，则$g'(x)=2-k+\ln x$是增函数，因为是考虑$k$的最大值，所以考虑$g'(x)$有零点的情况，此时当$x_0={\rm e}^{k-2}$时，$g(x)$取到最小值 $$g(x_0)={\rm e}^{k-2}\cdot(k-2)+(1-k){\rm e}^{k-2}+2k=2k-{\rm e}^{k-2},$$ 所以$g(x_0)>0$即$2k-{\rm e}^{k-2}>0$，所以$k=4$为最大值．