每日一题[667]对数函数遇见恒成立

已知$f(x)=x+x\ln x$,若$k\in\mathcal Z$,且$k(x-2)<f(x)$对任意$x>2$恒成立,则$k$的最大值为________.


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分析与解 $4$.

法一 去对数
题意即$$\forall x>2,\ln x>(k-1)-\dfrac{2k}x,$$即$$\forall x\in\left(0,\dfrac 12\right),\ln x < 2kx+(1-k).$$取$y=\ln x$在$x=\dfrac{1}{2k}$处的切线,有$$\ln x\leqslant 2k\left(x-\dfrac{1}{2k}\right)+\ln\dfrac{1}{2k},$$于是只需要$$-1+\ln\dfrac{1}{2k}<1-k,$$即$$k-2-\ln (2k)<0,$$容易验证$k$的最大值为$4$.

法二 分离变量
题意即$$\forall x>2,k<\dfrac{x+x\ln x}{x-2},$$设右边为$\varphi(x)$,则$$\varphi'(x)=\dfrac{x-2\ln x-4}{(x-2)^2},$$ 由于$$\left(x-2\ln x-4\right)'_x=1-\dfrac 2x>0,$$于是$\varphi'(x)$有唯一零点$x_0\in (8,10)$,从而$\varphi(x)$的极小值,亦为最小值$$\varphi(x_0)=\dfrac{x_0+x_0\ln x_0}{x_0-2}=\dfrac{x_0+x_0\cdot \dfrac 12(x_0-4)}{x_0-2}=\dfrac {x_0}2\in (4,5),$$于是$k$的最大值为$4$.

法三 不分离变量
题意即$$\forall x>2,x\ln x+(1-k)x+2k>0.$$记左边为函数$g(x)$,则$g'(x)=2-k+\ln x$是增函数,因为是考虑$k$的最大值,所以考虑$g'(x)$有零点的情况,此时当$x_0={\rm e}^{k-2}$时,$g(x)$取到最小值$$g(x_0)={\rm e}^{k-2}\cdot(k-2)+(1-k){\rm e}^{k-2}+2k=2k-{\rm e}^{k-2},$$所以$g(x_0)>0$即$2k-{\rm e}^{k-2}>0$,所以$k=4$为最大值.

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