每日一题[589]巧构形式

整数$x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_{2008}$满足条件：$x_0=1$，$|x_1|=|x_0+1|$，$|x_2|=|x_1+1|$，$\cdots$，$|x_{2008}|=|x_{2007}+1|$，则$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|$的最小值为_______．

分析与解　补充定义$|x_{2009}|=|x_{2008}+1|$，根据题意，有 $$\begin{cases} x_1^2=x_0^2+2x_0+1,\\ x_2^2=x_1^2+2x_1+1,\\ \cdots ,\\ x_{2008}^2=x_{2007}^2+2x_{2007}+1,\\ x_{2009}^2=x_{2008}^2+2x_{2008}+1\end{cases}$$ 因此 $$x_{2009}^2=x_0^2+2(x_0+x_1+\cdots +x_{2008})+2009,$$ 进而 $$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|=\dfrac 12\left|x_{2009}^2-2010\right|,$$ 由于$x_{2009}$是偶数，而$44^2<2010<45^2$，因此 $$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|\geqslant \dfrac 12|44^2-2010|=37,$$ 等号当且仅当$x_{2009}=\pm 44$时取得．当数列$\{x_n\}$取 $$x_0=x_2=\cdots =x_{1966}=1,x_1=x_3=\cdots =x_{1965}=-2,$$ 且 $$x_{1967}=2,x_{1968}=3,\cdots ,x_{2008}=43,x_{2009}=44$$ 时，可得所求的最小值为$37$．

注　通过平方将前$n$项和构造出来是解决问题的关键．