每日一题[487]谢尔宾斯基三角

如图，由若干个小正方形组成的$k$层三角形图阵，第一层有$1$个小正方形，第二层有$2$个小正方形，依此类推，第$k$层有$k$个小正方形．除去最底下一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第$k$层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为$x_1,x_2,\cdots ,x_k$，其中$x_i\in\{0,1\}$($1\leqslant i\leqslant k$)，其它小正方形标注的数字是它下面的两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为$x_0$．

（1）当$k=4$时，若要求$x_0$为$2$的倍数，则有多少种不同的标注方法？

（2）当$k=11$时，若要求$x_0$为$3$的倍数，则有多少种不同的标注方法？

分析与解    （1）类似于杨辉三角，我们容易知道 $$x_0={\rm C}_{k-1}^{0}x_1+{\rm C}_{k-1}^{1}x_2+{\rm C}_{k-1}^{2}x_3+\cdots +{\rm C}_{k-1}^{k-1}x_k.$$ 如图为$k=4$时每个方格中的数加的次数．

这样，我们就可以得到不同的标注方法数为 $${\rm C}_4^0+{\rm C}_4^2+{\rm C}_4^4=8.$$

（2）从第（1）小题的解决中可以看到，第$k$层各个方格中的数字本身可以替换为对应的模同余的余数．因此，当$k=11$时，可以如图填数．

这样，我们就可以得到不同的标注方法数为 $$\left({\rm C}_4^0+{\rm C}_4^3\right)\cdot 2^7=640.$$

注    如果把新的“杨辉三角”中所有的$0$用特别的颜色标记出来，就会得到类似于谢尔宾斯基三角的美丽图案．