文科做前5题,理科做后5题,每题20分,满分100分.
1、设xx2−1=12,求x2x4+1的值.
2、已知D为三角形ABC的边BC上的一点,BD:DC=1:2,AB:AD:AC=3:k:1,求k的取值范围.
3、已知正实数a,b,c满足a+b+c=1,求abc(1−a)(1−b)(1−c)的最大值.
4、构造整系数多项式函数f(x),使f(sin10∘)=0.
5、已知椭圆x2a2+y2b2=1上一点P与两焦点F1、F2形成的夹角∠F1PF2=α,求三角形F1PF2的面积.
6、已知n∈N∗,求证:112+122+132+⋯+1n2<53.
7、已知a,b,c是三角形的三条边之长,ak+bk=ck,求证:k<0∨k>1.
参考答案
1、16
2、(53,73)
提示 利用余弦定理和三角形的三边关系.
3、18
提示 齐次化,有(1−a)(1−b)(1−c)=(b+c)(c+a)(a+b)⩾2√bc⋅2√ca⋅2√ab=8abc,
于是所求的最大值为18.
4、f(x)=8x3−6x+1
提示 利用三倍角公式及1−2sin(3⋅10∘)=0构造.
5、b2tanα2
6、由∀n∈N∗,1n2<1n−12−1n+12
可得112+122+132+⋯+1n2<1+12−12−12+12+13−12−13+12+⋯+1n−12−1n+12=53−1n+12<53,
故原命题得证.
7、记f(k)=(ac)k+(bc)k.
若c不为最大边,则由(ac)k+(bc)k=1
得(ac)k<1∧(bc)k<1,
而ac,bc至少有一个大于1,因此k<0.
若c为最大边,则ac,bc∈(0,1].当ac=bc=1时,等式(ac)k+(bc)k=2≠1,
故而f(k)为单调递减函数.又f(1)=ac+bc>1,
于是k>1. 综上,原命题得证.