2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学科目试题

文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．

1、设$\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac 12$，求$\dfrac{x^2}{x^4+1}$的值．

2、已知$D$为三角形$ABC$的边$BC$上的一点，$BD:DC=1:2$，$AB:AD:AC=3:k:1$，求$k$的取值范围．

3、已知正实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，求$\dfrac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}$的最大值．

4、构造整系数多项式函数$f(x)$，使$f\left(\sin 10^\circ\right)=0$．

5、已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点$P$与两焦点$F_1$、$F_2$形成的夹角$\angle F_1PF_2=\alpha$，求三角形$F_1PF_2$的面积．

6、已知$n\in\mathcal N^*$，求证：$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac 53$．

7、已知$a,b,c$是三角形的三条边之长，$a^k+b^k=c^k$，求证：$k<0\lor k>1$．

参考答案

1、$\dfrac 16$

2、$\left(\dfrac 53,\dfrac 73\right)$

提示    利用余弦定理和三角形的三边关系．

3、$\dfrac 18$

提示    齐次化，有 $$\begin{split}(1-a)(1-b)(1-c)&=(b+c)(c+a)(a+b)\\&\geqslant 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt {ca}\cdot 2\sqrt{ab}\\&=8abc,\end{split}$$ 于是所求的最大值为$\dfrac 18$．

4、$f(x)=8x^3-6x+1$    

提示    利用三倍角公式及$1-2\sin\left(3\cdot 10^\circ\right)=0$构造．

5、$b^2\tan\dfrac{\alpha}2$

6、由 $$\forall n\in\mathcal N^*,\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n-\dfrac  12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}$$ 可得 $$\begin{split}\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}&<1+\dfrac{1}{2-\dfrac 12}-\dfrac{1}{2+\dfrac 12}+\dfrac{1}{3-\dfrac 12}-\dfrac{1}{3+\dfrac 12}+\cdots+\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&=\dfrac 53-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\\&<\dfrac 53,\end{split}$$ 故原命题得证．

7、记$f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k$．

若$c$不为最大边，则由 $$\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=1$$ 得 $$\left(\dfrac ac\right)^k<1\land \left(\dfrac bc\right)^k<1,$$ 而$\dfrac ac,\dfrac bc$至少有一个大于$1$，因此$k<0$．

若$c$为最大边，则$\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1]$．当$\dfrac ac=\dfrac bc =1$时，等式 $$\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=2\neq 1,$$ 故而$f(k)$为单调递减函数．又 $$f(1)=\dfrac ac+\dfrac bc>1,$$ 于是$k>1$． 综上，原命题得证．

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