2014年全国高中数学联赛贵州省预赛第5题：
已知\(a,b,c,\in [0,1]\)，则\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ca+1}+\dfrac{c}{ab+1}\)的取值范围是_______．
正确答案是\([0,2]\)．
解 由于\(a,b,c\)轮换，于是最大值与最小值很有可能在边界或均值时取得．经过验证可得\((a,b,c)=(0,0,0)\)时，原式取得可能的最小值\(0\)，当\((a,b,c)=(1,1,0)\)时，原式取得可能的最大值\(2\)．接下来我们尝试证明．
显然，原式为非负代数式，因此最小值为\(0\)；
另一方面，根据已知有\[(1-a)(1-b)\geqslant 0,\]于是\[ab+1\geqslant a+b,\]进而\[2(ab+1)\geqslant a+b+c,\]因此\[LHS\leqslant \sum_{cyc}{\dfrac{2a}{a+b+c}}=2,\]故原式最大值为\(2\)．
注 利用边界条件将\(ab+1\)转化为齐次的\(a+b\)是解决问题的关键步骤，同时\[(1\pm a)(1\pm b)=1+ab\pm (a+b)\]也是和\(ab+1\)相关的重要代数变形．