每日一题[217] 构造与论证

2003年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题:

非负有理数列\(A_1,A_2,A_3,\cdots\)满足\(\forall m,n\in\mathcal N^*,A_m+A_n=A_{mn}\),证明:该数列中必然存在相同的数.


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证明    用反证法.

若不然,则令\(m=n=1\),根据已知有\[A_1+A_1=A_1,\]于是\[A_1=0,\]因此数列中其余各项均不为\(0\).

令\(A_2=\dfrac pq\),\(A_3=\dfrac rs\),则由题中条件可知\[A_{m^k}=kA_m,\]于是\[A_{2^{qr}}=qr\cdot\dfrac pq=pr=ps\cdot\dfrac rs=A_{3^{ps}},\]但是\(2^{qr}\neq 3^{ps}\),矛盾.

因此原命题得证.

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