2015年清华大学自主招生暨领军计划试题

说明:本试卷共30小题,共100分.在每小题给出的四个选项中,有一个或多个选项是符合题目要求的.全部选对的,得满分;选对但不全的,得部分分;有选错的,得0分.

1、设复数z=cos2π3+isin2π3,则11z+11z2=(        )

A.0

B.1

C.12

D.32

2、设{an}为等差数列,p,q,k,l为正整数,则“p+q>k+l”是“ap+aq>ak+al”的(        )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3、设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点.若OAOB,则(        )

A.|OA||OB|2

B.|OA|+|OB|22

C.直线AB过抛物线y=x2的焦点

D.O到直线AB的距离小于等于1

4、设函数f(x)的定义域为(1,1),且满足:

f(x)>0x(1,0)

f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)x,y(1,1)

f(x)为(        )

A.奇函数

B.偶函数

C.减函数

D.有界函数

5、如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)kx有(        ) Untitled-1 A.2个极大值点

B.3个极大值点

C.2个极小值点

D.3个极小值点

6、ABC的三边分别为a,b,c.若c=2C=π3,且sinC+sin(BA)2sin2A=0,

则(        )

A.b=2a

B.ABC的周长为2+23

C.ABC的面积为233

D.ABC的外接圆半径为233

7、设函数f(x)=(x23)ex,则(        )

A.f(x)有极小值,但无最小值

B.f(x)有极大值,但无最大值

C.若方程f(x)=b恰有一个实根,则b>6e3

D.若方程f(x)=b恰有三个不同实根,则0<b<6e3

8、已知A={(x,y)|x2+y2=r2}B={(x,y)|(xa)2+(yb)2=r2},已知AB={(x1,y1),(x2,y2)},则(        )

A.0<a2+b2<2r2

B.a(x1x2)+b(y1y2)=0

C.x1+x2=ay1+y2=b

D.a2+b2=2ax1+2by1

9、已知非负实数x,y,z满足4x2+4y2+z2+2z=3,则5x+4y+3z的最小值为(        )

A.1

B.2

C.3

D.4

10、设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则(        )

A.{an}可能为等差数列

B.{an}可能为等比数列

C.{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差

D.对任意正整数n,总存在正整数m,使得an=Sm

11、运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测:3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是(        )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

12、长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2AD=AA1=1,则A到平面A1BD的距离为(        )

A.13

B.23

C.22

D.63

13、设不等式组{|x|+|y|2,y+2k(x+1),所表示的区域为D,其面积为S,则(        )

A.若S=4,则k的值唯一

B.若S=12,则k的值有2

C.若D为三角形,则0<k23

D.若D为五边形,则k>4

14、ABC的三边长是2,3,4,其外心为O,则OAAB+OBBC+OCCA=(        )

A.0

B.15

C.212

D.292

15、设随机事件AB互相独立,且P(B)=0.5P(AB)=0.2,则(         )

A.P(A)=0.4

B.P(BA)=0.3

C.P(AB)=0.2

D.P(A+B)=0.9

16、过ABC的重心作直线将ABC分成两部分,则这两部分的面积之比的(        )

A.最小值为34

B.最小值为45

C.最大值为43

D.最大值为54

17、从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有(        )

A.105

B.225

C.315

D.420

18、已知存在实数r,使得圆周x2+y2=r2上恰好有n个整点,则n可以等于(        )

A.4

B.6

C.8

D.12

19、设复数z满足2|z||z1|,则(        )

A.|z|的最大值为1

B.|z|的最小值为13

C.z的虚部的最大值为23

D.z的实部的最大值为13

20、设m,n是大于零的实数,向量a=(mcosα,msinα)b=(ncosβ,nsinβ),其中α,β[0,2π).定义向量a12=(mcosα2,msinα2)b12=(ncosβ2,nsinβ2),记θ=αβ,则(        )

A.a12a12=a

B.a12b12=mncosθ2

C.|a12b12|24mnsin2θ4

D.|a12+b12|24mncos2θ4

21、设数列{an}满足:a1=6an+1=n+3nan,则(        )

A.nN,an<(n+1)3

B.nN,an2015

C.nN,an为完全平方数

D.nN,an为完全立方数

22、在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有(        )

A.ρ=1cosθ+sinθ

B.ρ=12+sinθ

C.ρ=12cosθ

D.ρ=11+2sinθ

23、设函数f(x)=sinπxx2x+1,则(        )

A.f(x)43

B.|f(x)|5|x|

C.曲线y=f(x)存在对称轴

D.曲线y=f(x)存在对称中心

24、ABC的三边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,则(        )

A.sinA>cosB

B.tanA>cotB

C.a2+b2>c2

D.a3+b3>c3

25、设函数f(x)的定义域是(1,1),若f(0)=f(0)=1,则存在实数δ(0,1),使得(        )

A.f(x)>0x(δ,δ)

B.f(x)(δ,δ)上单调递增

C.f(x)>1x(0,δ)

D.f(x)>1x(δ,0)

26、在直角坐标系中,已知A(1,0)B(1,0).若对于y轴上的任意n个不同点P1,P2,,Pn,总存在两个不同点Pi,Pj,使得|sinAPiBsinAPjB|13,则n的最小值为(        )

A.3

B.4

C.5

D.6

27、设非负实数x,y满足2x+y=1,则x+x2+y2的(        )

A.最小值为45

B.最小值为25

C.最大值为1

D.最大值为1+23

28、对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行),则(        )

A.存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多

B.存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多

C.存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个

D.存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个

29、从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到的不同的五位数有(        )

A.300

B.450

C.900

D.1800

30、设曲线L的方程为y4+(2x2+2)y2+(x42x2)=0,则(        )

A.L是轴对称图形

B.L是中心对称图形

C.L{(x,y)|x2+y21}

D.L{(x,y)|12y12}

 


参考答案

QQ20160318-0

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2015年清华大学自主招生暨领军计划试题》有8条回应

  1. ye-chen10说:

    您好,请问第10题,关于选项B和C,应该如何解释呀?

  2. szy说:

    请问有没有解析啊

  3. TSUITOAR说:

    最后几道题的题目怎么有这么多空白。。

  4. Avatar photo caijinzhi说:

    第一题,化为 4x^2+4y^2+(z+1)^2=4 求5x+4y+3(z+1)-3最大值。第二题,令x=rcos(sita) y=rsin(sita) 0<=r<=1。
    ……

  5. Pingback引用通告: 每日一题[188] 代数式的最值 | Math173

  6. Miracle说:

    这个网站做的真好。不是泛泛而谈,是真正有自己的想法。请问还有类似的高中物理和化学学习网站吗?谢谢。

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