一、选择题
选择题共5小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．
1、已知$n$为不超过$2015$的正整数且$1^n+2^n+3^n+4^n$的个位数为$0$，则满足条件的正整数$n$的个数为（ ）
A．$1511$
B．$1512$
C．$1513$
D．前三个答案都不对
2、在内切圆半径为$1$的直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，内切圆与$BC$切于$D$，则$A$到$D$的距离$AD$等于（ ）
A．$\sqrt{4+2\sqrt 3}$
B．$\sqrt{3+3\sqrt 3}$
C．$\sqrt {3+4\sqrt 3}$
D．前三个答案都不对
3、正方形$ABCD$内部一点$P$满足$AP:BP:CP=1:2:3$，则$\angle APB$等于（ ）
A．$120^\circ$
B．$135^\circ$
C．$150^\circ$
D．前三个答案都不对
4、满足$\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac{1}{2015}$，$x\leqslant y$的正整数对$(x,y)$的个数为（ ）
A．$12$
B．$15$
C．$18$
D．前三个答案都不对
5、已知$a,b,c\in\mathcal Z$，且$(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$，则$a+b+c$可能为（ ）
A．$126$
B．$144$
C．$162$
D．前三个答案都不对
二、填空题
填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．
6、设$\alpha$为复数，$\overline \alpha$表示$\alpha$的共轭，已知$\left|\alpha-\overline \alpha\right|=2\sqrt 3$且$\dfrac{\alpha}{\overline\alpha^2}$为纯虚数，则$|\alpha|$的值为_______．
7、椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的一条切线与$x,y$轴交于$A,B$两点，则三角形$AOB$的面积的最小值为_______．
8、已知$x^2-y^2+6x+4y+5=0$，则$x^2+y^2$的最小值是_______．
9、已知点集$M=\left\{(x,y)\left|\sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\geqslant xy\right.\right\}$，则平面直角坐标系中区域$M$的面积为_______．
10、现要登上$10$级台阶，每次可以登$1$级或$2$级，则不同的登法共有_______种．
参考答案
一、选择题
1、B． 提示 $n$模$4$余$1,2,3$均可．
2、D． 提示 利用面积确定三边长，答案为$\sqrt{5+2\sqrt 3}$ ．
3、B． 提示 如图旋转．
4、D． 提示 $(x-2015)(y-2015)=2015^2=5^2\cdot 13^2\cdot 31^2$，因此$(x,y)$共有$14$对．
5、C 提示 注意$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$．
二、填空题
6、$2\sqrt 3$或$\sqrt 3$．
提示 根据已知$\left|r\sin\left(\dfrac{k\pi}3+\dfrac{\pi}6\right)\right|=\sqrt 3$，其中$r$为$|\alpha|$，$k\in\mathcal Z$，因此$r=2\sqrt 3$或$r=\sqrt 3$，对应的$\alpha=3+\sqrt 3{\rm i}$或$\alpha=\sqrt 3{\rm i}$．
7、$ab$． 提示 仿射变换．
8、$\dfrac 12$． 提示 注意题中方程为两条互相垂直的直线．
9、$2+\dfrac{\pi}2$ 提示 如图．
10、$89$ 提示 递推．