每日一题[3547]空间余弦定理

2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#27

四面体 $V-ABC$ 中,$VA=VB=2\sqrt 2$,$VC=3$,$CA=CB=4$,则 $\overrightarrow{CA} $ 与 $ \overrightarrow{VB}$ 所成角的余弦的取值范围是(       )

A.$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$

B.$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{17}{18\sqrt 2}\right)$

C.$\left(0,\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$

D.$\left(0,\dfrac{49}{18\sqrt 2}\right)$

答案    A.

解析    设 $AB=2x$,$AB$ 的中点为 $M$,$\overrightarrow{CA} $ 与 $ \overrightarrow{VB}$ 所成的角为 $\theta$,则根据空间余弦定理,有\[ \cos\theta=\dfrac{(VA^2+BC^2)-(AB^2+VC^2)}{2\cdot CA\cdot VB}=\dfrac{|4x^2-15|}{16\sqrt 2},\tag{1}\]在 $\triangle VAB,\triangle ABC,\triangle VMC$ 中考虑 $x$ 的取值范围,有\[\begin{cases} 0<x<2\sqrt 2,\\ 0<x<4,\\ \sqrt{8-x^2}+\sqrt{16-x^2}>3,\end{cases}\iff 0<x^2<\dfrac{287}{36},\tag{2}\]将 $(2)$ 代入 $(1)$,可得所求余弦的取值范围是 $\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$.

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每日一题[3547]空间余弦定理》有2条回应

  1. zw11说:

    你好,这个正负号是不是弄错了?

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