每日一题[3547]空间余弦定理

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#27

四面体 $V-ABC$ 中，$VA=VB=2\sqrt 2$，$VC=3$，$CA=CB=4$，则 $\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{VB}$ 所成角的余弦的取值范围是（       ）

A．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$

B．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{17}{18\sqrt 2}\right)$

C．$\left(0,\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$

D．$\left(0,\dfrac{49}{18\sqrt 2}\right)$

答案    A．

解析    设 $AB=2x$，$AB$ 的中点为 $M$，$\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{VB}$ 所成的角为 $\theta$，则根据空间余弦定理，有

$$\cos\theta=\dfrac{(VA^2+BC^2)-(AB^2+VC^2)}{2\cdot CA\cdot VB}=\dfrac{|4x^2-15|}{16\sqrt 2},\tag{1}$$ 在 $\triangle VAB,\triangle ABC,\triangle VMC$ 中考虑 $x$ 的取值范围，有 $$\begin{cases} 0<x<2\sqrt 2,\\ 0<x<4,\\ \sqrt{8-x^2}+\sqrt{16-x^2}>3,\end{cases}\iff 0<x^2<\dfrac{287}{36},\tag{2}$$ 将 $(2)$ 代入 $(1)$，可得所求余弦的取值范围是 $\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$．