2016年中国科学技术大学自主招生试题

以下试题来自宋庆老师的博客，有补充以及顺序调整．

一、填空题（每小题6分，共48分）

1、$3^{2016}$除以$100$的余数是_______．

2、复数$z_1,z_2$满足$|z_1|=2$，$|z_2|=3$，$|z_1+z_2|=4$，则$\dfrac{z_1}{z_2}=$_______．

3、用$S(A)$表示集合$A$的所有元素之和，且$A\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$S(A)$能被$3$整除，但不能被$5$整除，则符合条件的非空集合$A$的个数是_______．

4、已知$\triangle ABC$中，$\sin A+2\sin B\cos C=0$，则$\tan A$的最大值是_______．

5、若对任意实数$x$都有$|2x-a|+|3x-2a|\geqslant a^2$，则$a$的取值范围是_______．

6、若$a\in \left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，$b\in (0,1)$，$x=(\sin a){^{{\log_b}\sin a}}$，$y=(\cos a){^{{\log_b}\cos a}}$，则$x$____$y$（填$>,<,=$）．

7、梯形$ABCD$中$AB\parallel CD$，对角线$AC,BD$交于$P_1$，过$P_1$作$AB$的平行线交$BC$于点$Q_1$．$AQ_1$交$BD$于$P_2$，过$P_2$作$AB$的平行线交$BC$于点$Q_2$，$\cdots$．若$AB=a$，$CD=b$，则$P_nQ_n=$_______ (用$a,b,n$表示)．

8、数列$\{a_n\}$中$a_n$是与$\sqrt{n}$最接近的整数，则$\sum\limits_{n=1}^{2016}\dfrac{1}{a_n}=$_______．

二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）

9、已知$a,b,c>0$，$a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$．

10、求所有函数$f:\mathcal N^*\to\mathcal N^*$，使得对任意正整数$x\neq y$，$0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$．

11、求方程$2^x-5^y\cdot 7^z=1$的所有非负整数解$(x,y,z)$．

 

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参考答案

1、$21$．

2、$\dfrac 16\pm \dfrac{\sqrt{15}}6{\rm i}$．提示    利用复数的几何意义．

3、$70$．

4、$\dfrac{\sqrt 3}3$．

5、$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$．

6、$>$．

7、$\dfrac{ab}{a+bn}$．

8、$\dfrac{444}5$．提示    ${\rm round}(\sqrt n)=\left[\sqrt n+\dfrac 12\right]$．

9、提示    利用均值不等式和柯西不等式即得．

10、$f(n)=f(1)+n-1$，其中$f(1)\in\mathcal N^*$．提示    $|f(x+1)-f(x)|=1$且$f$为单射．

11、$(x,y,z)=(1,0,0),(3,0,1)$．

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