2014年高考山东卷理科压轴题解答

2014年高考山东卷理科数学第21题：

已知抛物线$C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点为$F$，$A$为$C$上异于原点的任意一点，过点$A$的直线$l$交$C$于另一点$B$，交$x$轴正半轴于点$D$，且有$|FA|=|FD|$，当点$A$的横坐标为$3$时，$\triangle ADF$为正三角形．

（1）求$C$的方程；

（2）若直线$l_1\parallel l$且$l_1$与$C$有且只有一个公共点$E$，

① 证明直线$AE$过定点；并求出定点坐标；

② $\triangle ABE$是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

先介绍抛物线的两条重要性质．

引理1    （几何平均性质）对称轴为$x$轴方向的抛物线的任意一条割线与抛物线的两个交点的横坐标的几何平均数为该直线与抛物线对称轴交点的横坐标．

引理2    （算术平均性质）若对称轴为$x$轴方向的抛物线的一条割线与一条切线平行，那么割线与抛物线的两个交点的纵坐标的算术平均数为切线与抛物线的切点的纵坐标．

接下来介绍解析几何中的两个重要公式．

引理3    （坐标截距公式）过点$\left(x_1,y_1\right)$和$\left(x_2,y_2\right)$的直线的横截距$a$和纵截距$b$分别为 $$a=\dfrac{y_1x_2-y_2x_1}{y_1-y_2},b=\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}.$$

引理4    （坐标面积公式）由有向线段$\overrightarrow{OA}=(a,b)$和$\overrightarrow{OB}=(c,d)$围成的三角形$OAB$的有向面积 $$S_{\triangle OAB}=\dfrac 12\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}.$$

解    （1）不妨设$A\left(3,\sqrt{6p}\right)$，而$F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，根据题意，直线$AF$的斜率 $$\dfrac{\sqrt{6p}-0}{3-\dfrac{p}{2}}=\sqrt 3,$$ 解得$p=2$，于是抛物线$C$的方程为$y^2=4x$．

（2）不妨设$A\left(4t^2,4t\right)$，$t>0$，则由抛物线的定义可得$D\left(4t^2+2,0\right)$．

进而利用引理1，可得$B\left(\dfrac{\left(4t^2+2\right)^2}{4t^2},-\dfrac{4t^2+2}{t}\right)$．

再利用引理2，可得$E\left(\dfrac 1{4t^2},-\dfrac 1t\right)$．

① 对$A$、$E$应用引理3，可得直线$AE$的横截距为 $$\dfrac{4t\cdot\frac{1}{4t^2}-\left(-\frac 1t\right)\cdot 4t^2}{4t-\left(-\frac 1t\right)}=1,$$ 于是直线$AE$恒过点$(1,0)$（即焦点）．

② 对三角形$ABE$应用引理4，可得三角形$ABE$的有向面积 $$\overrightarrow S_{\triangle ABE}=\dfrac 12\begin{vmatrix}4t^2-\dfrac{\left(4t^2+2\right)^2}{4t^2}&4t-\left(-\dfrac{4t^2+2}{t}\right)\\4t^2-\dfrac{1}{4t^2}&4t-\left(-\dfrac 1t\right)\end{vmatrix},$$ 化简得 $$S_{\triangle ABE}=\left(4t+\dfrac 1t\right)\cdot\left(8t^2+\dfrac{1}{2t^2}+4\right)\geqslant 16,$$ 等号当且仅当$t=\dfrac 12$时取得，于是三角形$ABE$的面积存在最小值为$16$．

注一    第（2）小问的 ① 即描述抛物线的光学性质，可以参考 每日一题[88] 抛物线的光学性质 ，每日一题[16] 抛物线的光学性质．

注二    抛物线还有很多优美性质，如 抛物线中切线三角形的性质．