2014年大纲卷压轴题

函数$f(x)=\ln(x+1)-\dfrac {ax}{x+a}(a>1)$．

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 设$a_1=1,a_{n+1}=\ln (a_n+1)$，证明：$\dfrac 2{n+2}< a_n <\dfrac 3{n+2}.$

(1) 由题有 $$f'(x)=\dfrac {x(x+2a-a^2)}{(x+1)(x+a)^2}.$$ 于是

i) 当$1<a<2$ 时，函数$f(x)$在$(-1,a^2-2a)$上单调递增，在$(a^2-2a,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增；

ii)当$a=2$时，函数$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增；

iii) 当$a>2$ 时，函数$f(x)$在$(-1,0)$上单调递增，在$(0,a^2-2a)$上单调递减，在$(a^2-2a,+\infty)$上单调递增．

(2) 用数学归纳法证明．

归纳基础显然成立；

设$\dfrac 2{n+2}<a_n\leqslant \dfrac 3{n+2}$，则需要证明

$$\dfrac 2{n+3}<\ln (a_n+1) \leqslant \dfrac 3{n+3}.$$

由于$\ln \left(1+\dfrac 2{n+2}\right)<\ln (a_n+1)\leqslant \ln \left(1+\dfrac 3{n+2}\right)$，因此只需要证明

$$\dfrac 2{n+3}<\ln \left(1+\dfrac 2{n+2}\right), \\\ln \left(1+\dfrac 3{n+2}\right)\leqslant \dfrac 3{n+3}.$$

分别令$x_1=\dfrac 2{n+2}$，$x_2=\dfrac 3{n+2}$，则欲证不等式可由

$$\ln(1+x_1)-\dfrac {2x}{x+2}>0, \\\ln(1+x_2)-\dfrac {3x}{x+3}<0.$$

得出．事实上，根据第一小问的结果，分别取$a=2,3$即得．