这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题:
已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx.当x∈[0,1]时,
(I) 求证:1−x⩽;
(II) 若f(x)\geqslant g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
(I) 左边即1+x-(1-x){\mathrm e}^{2x}\geqslant 0,右边即{\mathrm e}^x\geqslant 1+x.
(II) 注意到端点x=0处f(x)=g(x)=1.因此考虑\begin{split}f'(x)&=-{\mathrm e}^{-2x}(1+2x),\\g'(x)&=a+\dfrac 32x^2+2\cos x-2x\sin x.\end{split}
有f'(0)=-1,g'(0)=a+2.
因此得到一个必要条件a\leqslant -3.
下面证明这个条件的充分性.
当a\leqslant -3时,要证明原命题成立只需要证明(1+x){\mathrm e}^{-2x}\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x.
利用(I)的结论,只需要证明1-x\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x
即2\geqslant \dfrac 12x^2+2\cos x.
以下略.
因此实数a的取值范围为(-\infty,-3].
备注 导数大题中利用分析端点得到必要条件,然后通过放缩证明充分性是常用的手段.
Pingback引用通告: 每日一题[323]分析端点 | Math173