这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题:
已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx.当x∈[0,1]时,
(I) 求证:1−x⩽f(x)⩽11+x;
(II) 若f(x)⩾g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
(I) 左边即1+x−(1−x)e2x⩾0,右边即ex⩾1+x.
(II) 注意到端点x=0处f(x)=g(x)=1.因此考虑f′(x)=−e−2x(1+2x),g′(x)=a+32x2+2cosx−2xsinx.
有f′(0)=−1,g′(0)=a+2.
因此得到一个必要条件a⩽−3.
下面证明这个条件的充分性.
当a⩽−3时,要证明原命题成立只需要证明(1+x)e−2x⩾−3x+12x3+1+2xcosx.
利用(I)的结论,只需要证明1−x⩾−3x+12x3+1+2xcosx
即2⩾12x2+2cosx.
以下略.
因此实数a的取值范围为(−∞,−3].
备注 导数大题中利用分析端点得到必要条件,然后通过放缩证明充分性是常用的手段.
Pingback引用通告: 每日一题[323]分析端点 | Math173