2013年辽宁导数大题

这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题:

已知函数f(x)=(1+x)e2xg(x)=ax+x32+1+2xcosx.当x[0,1]时,

(I) 求证:1xf(x)11+x

(II) 若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.


(I) 左边即1+x(1x)e2x0,右边即ex1+x.

(II) 注意到端点x=0f(x)=g(x)=1.因此考虑f(x)=e2x(1+2x),g(x)=a+32x2+2cosx2xsinx.

f(0)=1,g(0)=a+2.

因此得到一个必要条件a3

下面证明这个条件的充分性.

a3时,要证明原命题成立只需要证明(1+x)e2x3x+12x3+1+2xcosx.

利用(I)的结论,只需要证明1x3x+12x3+1+2xcosx

212x2+2cosx.

以下略.

因此实数a的取值范围为(,3]


备注    导数大题中利用分析端点得到必要条件,然后通过放缩证明充分性是常用的手段.

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