2013年辽宁导数大题

这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题:

已知函数f(x)=(1+x)e2xg(x)=ax+x32+1+2xcosx.当x[0,1]时,

(I) 求证:1x

(II) 若f(x)\geqslant g(x)恒成立,求实数a的取值范围.


(I) 左边即1+x-(1-x){\mathrm e}^{2x}\geqslant 0,右边即{\mathrm e}^x\geqslant 1+x.

(II) 注意到端点x=0f(x)=g(x)=1.因此考虑\begin{split}f'(x)&=-{\mathrm e}^{-2x}(1+2x),\\g'(x)&=a+\dfrac 32x^2+2\cos x-2x\sin x.\end{split}

f'(0)=-1,g'(0)=a+2.

因此得到一个必要条件a\leqslant -3

下面证明这个条件的充分性.

a\leqslant -3时,要证明原命题成立只需要证明(1+x){\mathrm e}^{-2x}\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x.

利用(I)的结论,只需要证明1-x\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x

2\geqslant \dfrac 12x^2+2\cos x.

以下略.

因此实数a的取值范围为(-\infty,-3]


备注    导数大题中利用分析端点得到必要条件,然后通过放缩证明充分性是常用的手段.

此条目发表在解题展示分类目录。将固定链接加入收藏夹。

2013年辽宁导数大题》有一条回应

  1. Pingback引用通告: 每日一题[323]分析端点 | Math173

发表回复