2013年辽宁导数大题

这题也是45周数学组功底测试的倒数第二题：

已知函数$f(x)=(1+x){\mathrm e}^{-2x}$，$g(x)=ax+\dfrac {x^3}2+1+2x\cos x$．当$x\in [0,1]$时，

(I) 求证：$1-x\leqslant f(x)\leqslant \dfrac 1{1+x}$；

(II) 若$f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求实数$a$的取值范围．

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(I) 左边即

$$1+x-(1-x){\mathrm e}^{2x}\geqslant 0,$$ 右边即 $${\mathrm e}^x\geqslant 1+x.$$

(II) 注意到端点$x=0$处$f(x)=g(x)=1$．因此考虑

$$\begin{split}f'(x)&=-{\mathrm e}^{-2x}(1+2x),\\g'(x)&=a+\dfrac 32x^2+2\cos x-2x\sin x.\end{split}$$

有

$$f'(0)=-1,g'(0)=a+2.$$

因此得到一个必要条件$a\leqslant -3$．

下面证明这个条件的充分性．

当$a\leqslant -3$时，要证明原命题成立只需要证明

$$(1+x){\mathrm e}^{-2x}\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x.$$

利用(I)的结论，只需要证明

$$1-x\geqslant -3x+\dfrac 12x^3+1+2x\cos x$$

即

$$2\geqslant \dfrac 12x^2+2\cos x.$$

以下略．

因此实数$a$的取值范围为$(-\infty,-3]$．

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备注    导数大题中利用分析端点得到必要条件，然后通过放缩证明充分性是常用的手段．