题拍拍征解问题[6](已解决)

『2682538』设 a,b,c,d>0,求f(a,b,c,d)=a3+b3+c3+d3+ab+cd+16(a+b)(c+d)的最小值.

2020年10月22日上午11点06分,louxin2020提供解法.

考虑到a3+b3+ab=(a+b)(a2ab+b2)+ab=(a+b)3+(13(a+b))ab,于是按 a+b,c+d13 的大小讨论.

情形一    a+b,c+d.此时有a^3+b^3+ab\geqslant (a+b)^3-(1-3(a+b))\cdot \dfrac{(a+b)^2}4=\dfrac 14(a+b)^3+\dfrac14(a+b)^2,因此\begin{split} f(a,b,c,d)&\geqslant \dfrac{(a+b)^3+(c+d)^3+4^3+(a+b)^2+(c+d)^2}{4(a+b)(c+d)}\\ &\geqslant \dfrac{3\cdot 4(a+b)(c+d)+2(a+b)(c+d)}{4(a+b)(c+d)}\\ &=\dfrac 72,\end{split}等号当 a=b=c=d=4 时取得.

情形二     a+b<\dfrac 13c+d<\dfrac 13.不妨设 a+b<\dfrac 13,则\begin{split} f(a,b,c,d)&>\dfrac{c^3+d^3+16}{(a+b)(c+d)}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{c^3+d^3+16}{c+d}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{\dfrac 14(c+d)^3+16}{c+d}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{(c+d)^3+32+32}{4(c+d)}\\ &\geqslant 3\cdot \dfrac{3\cdot \sqrt[3]{32^2}}4=18\sqrt[3]2>\dfrac 72. \end{split}

综上所述,所求代数式的最小值为 \dfrac 72,当 a=b=c=d=4 时取得.

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