已知 $f(x)=a x-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、若 $a=-1$，求证：$f(x) \geqslant 1-x {\rm e}^x$．
2、求证：$\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}<\dfrac{1}{{\rm e}^2}$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} a x^2-x$．
1、设 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的单调性．
2、当 $a \leqslant 1-\dfrac{1}{\rm e}$ 时，求证：$f(x)+x-\ln (x+1) \geqslant 1$．
设函数 $f(x)=x^{2}+(a-2) x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值．
2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
3、若 $n \in \mathbb{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{2}{3^{2}}+\dfrac{3}{4^{2}} \cdots+\dfrac{n}{(n+1)^{2}}<\ln (n+1)$．
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2 a}{x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、证明：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)>{\rm e}^{-x}+\dfrac{1}{2}$．
设单调递增函数 $f(x)$ 满足：$\forall a\in\mathbb R,~a\in\{f(a+1)\}\cup \{f(f(a+2))\}$，则（ ）
A．$2f(1)\leqslant 1$
B．$2f(1)\geqslant -1$
C．$f(0)+f(1)\leqslant 0$
D．$f(0)+f(1)\geqslant -1$
已知正数 $a,b$ 满足等式 $a^2-b=2(2\ln b-\ln a)$，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．$a>b^2>\dfrac 12$
B．$a<b^2<\dfrac 12$
C．$a>b>1$
D．$b<a<1$
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点，直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点．求证：$\triangle EMN$ 的面积为定值．
记锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 \[ (\sin A-2 \sin 2 B) \tan A=2-2 \cos 2 B. \]
1、求 $\dfrac{a^2}{b c}$．
2、求 $\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．
