每日一题[2909]插翅难飞

若 $p$ 为质数,则不可能为质数的是(       )

A.$p^2+16 $

B.$p^2+24 $

C.$p^2+26 $

D.$p^2+46 $

E.$p^2+96 $

答案    C.

解析    试探,有\[\begin{array}{c|ccccc}\hline p&p^2+16&p^2+24&p^2+26&p^2+46&p^2+96\\ \hline 3&25&33&35&55&105\\ \hline 5&\boxed{41}&49&51&\boxed{71}&121\\ \hline 7&&\boxed{73}&75&&145\\ \hline \end{array}\] 考虑到当 $p>3$ 时,$p^2\equiv 1\pmod 3$,于是 $p^2+26\equiv 0\pmod 3$,从而 $3\mid p^2+26$,因此 $p^2+26$ 不可能为质数. 当 $p>5$ 时,有 $p^2\equiv \pm 1\pmod 5$,因此若 $p^2+96$ 为合数,那么必然为 $p^2\equiv 1\pmod 5$,从而 $p\equiv \pm 1\pmod 5$;继续试探 $p=11$,此时 $p^2+96=217=7\cdot 31$;$p=19$,此时 $p^2+96=457$ 为质数. 综上所述,选项 $\boxed{C}$ 正确.

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每日一题[2909]插翅难飞》有一条回应

  1. hjh48说:

    怎么最近没有每日一题了

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